四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(教师用) .pdfVIP

四年级奥数第六讲——乘法原

理与加法原理(教师用)

乘法原理与加法原理

一、学习要点：

Ⅰ乘法原理

在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做

一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又

有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方

法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．

例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天

津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车

或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北

京经大连到天津共有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步

走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：

第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，

所以他从北京到天津共有下面的三种走法：

注意到3×1=3．

如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么

他从北京到天津则有以下的走法：

共有六种走法，注意到3×2=6．

在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法

一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方

法数不太多的问题是很有效的．

在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷

举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以

第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法

数．

一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做

第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的

方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成

这件事一共有

N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

这就是乘法原理．

Ⅱ加法原理

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几

类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做

法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我

们将讨论的加法原理来解决．

例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长

途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4

趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有

多少种不同的走法？

分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么

乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走

法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法

都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方

法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可

以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件

事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方

法数．

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法

中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做

法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这

件事共有

N=m1+m2+…+mk

种不同的方法．

这就是加法原理．

二、典例剖析：

Ⅰ乘法原理

例3如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙

地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，

从甲地到丙地共有多少种走法？

例4如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到

B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫

有多少种不同的走法？

分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先

经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两

类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，

都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，

只要用加法原理求和即可．

解：从A点先经过C到B点共有：

1×3=3（种）

不同的走法．

从A点先经过D到B点共有：

2×3=6（种）

不同的走法．

所以，从A点到B点共有：

3+6=9（种）

不同的走法．

例5从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然

数有多少个？

分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一

位数，两位数，三位数．

一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、

6、