第14讲 三角函数的图象与性质（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）.docx

第14讲三角函数的图象与性质

【人教A版2019】

模块一

模块一

正弦函数、余弦函数

1．正弦函数与余弦函数的图象

(1)正弦函数的图象

①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形

状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.

(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函

数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]

上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.

(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”

的连续光滑曲线.

2．正弦函数与余弦函数的性质

(1)周期函数

①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，

且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

(2)正弦函数与余弦函数的性质

正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：

函数

y=sinx

y=cosx

图象

定义域

R

R

值域

[-1,1]

[-1,1]

周期性

最小正周期：2π

最小正周期：2π

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

增区间

减区间

最值

图象对称性

对称中心：

对称轴方程：

对称中心：

对称轴方程：

3．正弦型函数及余弦型函数的性质

函数和的性质

函数

定义域

R

R

值域

[-|A|,|A|]

[-|A|,|A|]

单调性

当A0,ω0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的单调区间求解；当A0或ω0时，注意单调区间的变化.

奇偶性

当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，

当时为偶函数.

当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，

当时为奇函数.

周期性

图象

对称性

将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解.

【题型1正、余弦函数图象及应用】

【例1.1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当x∈?3π,3π时，曲线y=cos

A．4 B．5 C．6 D．7

【例1.2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（

A．fx=2

C．fx=2

【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：

(1)y=sin

(2)y=3sin

【变式1.2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数fx

(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数fx

(2)若方程fx=a在x∈0,

【题型2正、余弦函数的定义域、值域与最值】

【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函数y=sin2x+π

A．[0,1] B．?12,1 C．?

【例2.2】（23-24高一下·山东日照·期中）函数y=2sinx?1

A．π3,5π6 B．π3

【变式2.1】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=2cos(2ωx+π

(1)求ω的值，并求f(x)的单调递减区间；

(2)求f(x)的对称轴；

(3)求f(x)在[0,π

【变式2.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数f(x)=2sinωx?π

(1)求f(x)的对称轴方程．

(2)求f(x)在0,π2上的最值及其对应的

【题型3正、余弦函数的图象与性质】

【例3.1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数fx

(1)求fx

(2)当x∈0,5π

【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=sin2x+a

(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；

(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；