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平面问题的直角坐标解答§3.1逆解法与半逆解法·多项式解答1.逆解法框图选择应力函数ΦYES求应力分量NO满足何边界条件？YES结论NO2.步骤（已知面力）a）假设一个应力函数Φ；b）检查Φ是否满足c）根据（2—23）求应力分量{??；d）检查所求应力分量{??能满足什么样的应力边界条件（2-15）边。一.逆解法：e)得出函数Φ能解决何种问题

二.半逆解法：1.半逆解法框图由边界条件选择某应力的函数式YES求应力分量NO满足边界条件吗?YES结论NOd）根据（2-23）求应力分量{??e）检查所求应力分量{??是否满足应力边界条件（2-15）边。a）根据边界条件选择假设某应力的函数式积分求函数Φ2.步骤b).对应力的函数式积分求应力函数Φc）检查是Φ否满足f)得出问题的解

三.平面问题的多项式解答(逆解法)（4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数Ф的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。（2）根据（2—23）求出应力分量{??；1.一次函数无体积力，考察其能解决的问题。（1）检查Φ是否满足能被满足（3）考察边界条件：无体力、无面力，

2.二次函数（4）结论：Ф=ａx2用来解y向均匀拉伸同理可知Ф=ｃy2用来解x向均匀拉伸（2）根据（2—23）求出应力分量{??；能被满足（1）检查Φ是否满足（3）考察边界条件：考察其能解决的问题。

（4）二次式解决的问题小结能解决图（a）的问题考察其能解决的问题按照以上步骤很容易得到结果应力分量能满足的边界条件为对于xy0（a）2a

能解决图（ｃ）的问题能解决图（ｂ）的问题对于对于（ｃ）xy0（ｂ）yx02c

３．三次函数2）根据（2—23）求出应力分量{??；（体力不计）考察它能解决什么问题1）检查Φ是否满足带入计算后可以知道显然满足相容方程xyL0

3）根据应力边界条件（2-15）边确定相对应的面力分量。

a）检查上、下边界（主边界）由：说明上、下边界没有面力。b）检查左、右边界（次边界）

由：0xyL解决矩形截面梁纯弯曲问题

§3.2矩形截面梁的纯弯曲一.计算模型矩形截面梁，体力不计考察两种情形：1）宽度远小于深度和长度（平面应力）2）宽度远大于深度和长度（平面应变）取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M注：M的量纲为[力][长度]/[长度]=[力]）1yzhM0LLxMy

二.求应力3）根据（2—23）求出应力分量{??；1）假设应力函数Φ；2）检查Φ是否满足（2-24）容显然满足

三.边界条件检查所求应力分量{??是否满足应力边界条件（2-15）边。（并求待定常数）1）检查上、下边界（主边界）准确满足b）检查左、右边界（次边界）满足

要求当时满足满足Ly0xL

四.定常数由于法向面力分布规律未知，根据圣维南原理，采用等效代换，做到近似满足。要求当时满足满足Ly0xL

由第二式解出：故所求应力分量：（3—1）与材力完全相同关于M的符号规定：组成M的应力分量随坐标的增大而增加时，M为“+”，反之为“-”随坐标y的增大而增加y分布规律

注：1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解答（3-1）才是完全精确的。若按其它形式分布（3-1）有误差。（即解答为圣维南原理意义下的精确解）。2）由圣维南原理，不同的面力分布形式，解答只在两端有误差。（对于Lh的梁）离两端较远处，解答是是有实用价值的。对于L与h尺寸差不多的梁，（3-1）则无实用价值（用简单多项式不能获得有用解答）

§3-3纯弯曲梁的位移求应变分量：由物理方程二.求位移分量：用几何方程积分

⑴⑵⑶由(1)、(2)积分：u、v必须满足⑶式将u、v代入

改写为：要使上式成立，必有?为常量其中u0，v0为常量故：其中?、u0，v0为常数，须由约束条件求出

讨论：1.证明平面假设是正确的xyαθ由无论约束情况如何（即?、uo、vo取何值）铅垂线段的转角对于同一截面，x为常量α也为常量，即横截面保持平面2、梁的各纵向纤维的曲率由小变形时与材力结果一致

三.满足约束条件1）简支梁按约束确定位移中待定常数Lyx代入位移条件后得：位移分量：梁的挠曲线方程：由约束条件（3—3）

2）悬臂梁（1）假设右端截面中点A无位移且过该点的截面法线不转动xyL在梁右端（x=L）：对于y的任何值要求：无法满足（多项式解答），在工程实际中难以实现。端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动。oo1dxxyA

以（1）为例研究：代入后：位移分量：odyyxA

梁轴线的挠度方程：转角方程：注：1)对于平面应变问题：2)若以代入，确定为移分量，结果如何？请同学们自己推出。作业：pp493-3，3-4

逆解法框图由边界条件选择某应力的函数式YES求应力分量NO满足边界条件吗?YES结论NO