经济应用数学电子教案 1.3定积分的概念.docVIP

经济应用数学

课题

定积分的概念（2学时）

时间

年月日

教

学

目

的

要

求

1.理解定积分的概念和几何意义。

2.掌握定积分的基本性质。

3.理解不定积分的概念。

4.常用函数的积分公式。

5.理解牛顿-莱布尼兹公式。

重点

理解定积分的概念。

难点

牛顿-莱布尼兹公式的使用。

教

学

方

法

手

段

精讲多练

主

要

内

容

时

间

分

配

引例5分钟

一、定积分

1.定积分的概念10分钟

2.定积分的几何意义10分钟

例15分钟

二、定积分的基本性质15分钟

例25分钟

三、常用函数的积分公式15分钟

例35分钟

四、牛顿-莱布尼兹公式10分钟

例45分钟

总结5分钟

作业

备注

【引例】

bxyy=f(x)0a曲边梯形面积：所谓曲边梯形就是连续曲线与三条直线：及

b

x

y

y=f(x)

0

a

不难看出，曲边梯形的面积取决于区间及定义在这个区间上的函数.现在的问题是在是变化着的，因此它的面积不能用矩形的面积公式来计算了，但由于在上是连续不断的，当变化不大时,的变化也不大.具体分为以下四步:

（1）分割:把用分点分成个小区间，每一个小区间的长度为,相应的曲边梯形被分割成个小曲边梯形.

（2）近似代替:在每一个小区间上任取一点，以这些小区间的长为底、处的值为高的小矩形代替相应地小曲边梯形，则得各小曲边梯形面积的近似值为.

（3）求和:把各个小矩形面积相加，得曲边梯形面积的近似值

.

（4）取极限:把区间无限细分，使每个小区间缩向一点，即区间长度无限接近于零.这时上述小矩形面积之和的极限值就定义为曲边梯形的面积，即

.

其中，表示所有小区间长度的最大值，即，，即表示每个小区间长度都无限接近于零，因为最大的一个区间接近于零，那么比它小的也接近零.

【主要内容】

一、定积分

1.定积分

定义1设函数在区间上有定义且有界，任取分点，分为个小区间（），记（），，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式，如果时上述极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为

=．

其中，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为积分号，称为积分和.

注意：

（1）定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量采用的字母无关，即有.

（2）规定：如果则．特别地，当时.

2.定积分的几何意义

当时，定积分表示由曲线，直线，及轴所围成的曲边梯形的面积，即.

当时，.

因此，定积分的几何意义为：由曲线,直线，及轴所围成图形的各部分面积的代数和，即在轴上方的图形面积与在轴下方的图形面积之差.

【例1】用定积分表示下列曲线所围成的图形,的面积.

解（1）

（2）

二、定积分的基本性质

性质1常数因子可以提到积分号外面来，即

.

性质2两个函数的代数和的定积分等于定积分的代数和，即

.

性质3如果被积函数（K为任意常数），则

.

特别地，当=1时

.

性质4（积分对区间的可加性）如果积分区间被分成两个小区间及，则

.

性质5若在上有≤，则

≤.

性质6（估值定理）若M和m分别是函数在上的最大值和最小值，则

≤≤.

性质7（定积分中值定理）如果在区间内连续，则在内至少存在一点≤≤，使得

.

它的几何解释是：一条连续曲线在上曲边梯形面积等于以区间长度为底，中一点的函数值为高的矩形面积．

【例2】比较下列定积分的大小.

（1）和；（2）和.

解

（1）在区间上，，由性质5得；

（2）在区间上，，由性质5得.

三、常用函数的积分公式

1.原函数

定义2设为定义在某个区间上的函数，如果存在函数，使其在上的任意一点，都有

或

则称函数为函数在区间上的一个原函数．

例如，，故是的一个原函数；又如当＞0时，，故是在区间内的一个原函数．

2.不定积分

定义3函数的全体原函数称为的不定积分，记作，即

．

其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积分式，称为积分变量，称为任意常数.

3.不定积分的基本公式

（1）；