数学素材：集合之间的关系与运算.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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教材习题点拨

思考与讨论

答：A?B.如，A＝{x｜x是6的约数}，B＝｛x|x是12的约数｝，即集合A的特征性质p(x）是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x）是:x是12的约数,显然“如果p（x)，那么q(x)是正确命题．因为A＝｛1，2,3,6}，B＝{1，2,3,4，6，12},显然A?B.

探索与研究

答：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A?B，它包含以下几个方面：A＝;AB；A＝B。

由以上知识，可以得到：

若B＝{a｝，则其子集可以是,{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；

若B＝｛a,b}，则其子集可以是，｛a},{b｝，{a，b}，即集合中若有2个元素,其子集个数为4；

若B＝{a，b，c},则其子集可以是,｛a｝，{b}，{c}，{a,b}，｛a，c},{b，c｝，{a，b,c}，即集合中若有3个元素，其子集个数为8；

若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是,{a}，｛b｝，{c}，{d｝,｛a，b}，｛a，c｝，｛a,d}，{b，c｝，{b，d｝,｛c，d}，{a，b，c｝，｛a，b，d}，｛a,c，d}，｛b,c，d｝，{a，b，c，d｝，即集合中若有4个元素，其子集个数为16。

综上所述，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍．故从上到下依次填2，4,8,16，32。(1）“元素个数”与“子集数目”之间的对应关系为：

元素个数子集数目

12＝21

22×21＝22

32×22＝23

42×23＝24

……

（2)若集合中有n个元素,则其子集的个数应为2n.非空子集的个数为2n－1，其真子集的个数应为2n－1，非空真子集的个数为2n－2。

对于上述结论的证明不作要求．

练习A

1．(1)∈;（2)∈;（3)；（4)；(5）;（6)；(7)＝；（8）

2．（1)AB。x是等边三角形?x是等腰三角形;(2）AB。x≥2?x＞1；（3）C＝D．x是等腰直角三角形?x是有一个角是45°的直角三角形．

3．,{0}，｛1}，{2}，{3｝，｛0,1｝，{0，2｝，｛0,3}，｛1，2}，｛1，3}，{2,3｝,{0,1,2｝，{0,1，3｝，{0，2,3}，｛1，2，3}，{0,1，2，3}．

4．如图，ABCD。

练习B

1．(1）＝;（2）＝；（3）．

2．（1)E＝F，x是两组对边分别平行的四边形?x是一组对边平行且相等的四边形；(2)HG，x是能被3整除的数?x是能被6整除的数．

3．如图，BA；CA;DA；DB；DC；B∩C＝D.

4．（1）正确；（2)错误;(3）正确；（4)错误；（5)错误；（6)正确．

思考与讨论

1．答：可能．例如：A＝{1，2，4｝，B＝{3,5，6｝,则A∩B＝.

实际上，两个非空集合的交集可以用Venn图进行研究，如图所示．

设A,B是非空集合,则

①若AB，则A∩B＝A

②若BC，则A∩B＝B

③若A＝B,则A∩B＝A（B）

④若A，B互不包含,且有公共部分,

则A∩B是A，B中的公共元素

⑤若A，B互不包含，且没

有公共部分，则A∩B＝

2．答：设l1,l2为两条直线（平面内)．若l1，l2平行，用集合语言表示为l1∩l2＝；若l1，l2重合,用集合语言可表示为l1∩l2＝l1＝l2.

探索与研究

1．解：A＝{高一年级参加数学小组的学生}，B＝｛高一年级参加足球队的学生}，则A∩B是既参加数学小组又参加足球队的学生组成的集合，A∪B是参加数学小组和参加足球队的所有学生组成的集合．

如图，在相应于A∩B的区域里先填上4（card（A∩B)＝4），再在A中不含A∩B的区域里填上16(card(A）－card（A∩B)＝16),在B中不含A∩B的区域里填上4(card(B）－card（A∩B)＝4），最后将这三部分中的数加起来得24，即card（A∪B)＝24.

推广：容易发现：card(A∪B）＝card(A）＋card(B)－card(A∩B）．

2．解：如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B区域里的元素个数;③表示A∩B区域里的元素个数．

则card(A∪B）表示A和B区域里所有的不同的元素个数，即card（A∪B)＝①＋②＋③；

card（A)表示集合A表示的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；

card（B)表示集合B所示的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③；

注意到card(A)＋card(B）中③出现过两次，故需减掉一次，故有card