第08讲 指数与指数函数（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）.docx

第08讲指数与指数函数

【人教A版2019】

模块一

模块一

指数

1．指数幂

整数指数幂

指数

幂中

的指

数从

整数

分数指数幂

拓展

到了

有理

数

正整数指数幂：

正数的正分数指数幂：

负整数指数幂：

正数的负分数指数幂：

规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1

规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义

注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

2．有理数指数幂的运算

(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a0,r,s∈Q)；

②(a0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).

(2)指数幂的几个常用结论：

①当a0时，0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.

3．无理数指数幂及实数指数幂

(1)无理数指数幂

一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x

的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.

整数指数幂

的运算性质

底数、指数

的取值范围

实数指数幂

的运算性质

底数、指数

的取值范围

m,n∈Z,a∈R

r,s∈R,且a0

m,n∈Z,a∈R

r,s∈R,且a0

n∈Z,a∈R,b∈R

r∈R,且a0,b0

4．指数幂运算的一般原则

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【题型1指数幂的化简、运算】

【例1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简a?3a

A．3a B．6a7 C．1

【解题思路】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解.

【解答过程】因为a0，

所以a?

故选：B.

【例1.2】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（????）

A．m4·m

C．?2xy3=?6x

【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．

【解答过程】对于A，m4

对于B，m4

对于C，?2xy3

对于D，?ab

故选：D．

【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值：

(1)83

(2)aπ

(3)π3

【解题思路】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；

（2）利用分数指数幂的运算化简；

（3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；【解答过程】（1）原式=2

（2）原式=a

（3）原式=π

【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：2a23b1

（2）求值：23

【解题思路】运用指数幂的性质计算即可.

【解答过程】（1）2

=2×?6×

（2）2

=1+14

【题型2指数式的给条件求值问题】

【例2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则a

A．2 B．4 C．±2 D．±4

【解题思路】给a1

【解答过程】(a12

故选：A.

【例2.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若x+x?1=3，则x

A．12 B．513 C．45

【解题思路】将x+x?1=3

【解答过程】将x+x?1=3两边平方，得x2+x

故选：A.

【变式2.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知x?x

(1)x2

(2)x+

【解题思路】（1）将原式平方后可得x2+x

（2）结合（1）中的结果配方可得x1

【解答过程】（1）因为x?x?1=2

故x2+x?2+2=16

故x2

（2）由（1）可得x+x?1=4

故x12+

【变式2.2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知a1

(1)a+a

(2)a3

【解题思路】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.

（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.

【解答过程】（1）由题意a12+

（2）由题意a1

所以a3

【题型3指数方程与指数不等式】

【例3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程32x?1=

A．?2 B．?22 C．2

【解题思路】先将方程化为同底数幂的