数学·选择性必修第二册（BSD版）1.2.2.1.docx

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2．2等差数列的前n项和

必威体育精装版课程标准

1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．

2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．

学科核心素养

1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算)

2．掌握有关a1，an，d，n，Sn的基本运算．(数学运算)

3．能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决最值问题、实际问题等．(数学建模、数学运算)

第1课时等差数列的前n项和(一)

[教材要点]

要点等差数列{an}的前n项和公式

两种不同形式

(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝______________，

(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝______________．

状元随笔(1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝an+an-1+…+a2+a1.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)

由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)，

∴Sn＝na

我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法.今后，某些数列求和常常会用到这种方法．

(2)公式的结构

①Sn＝na

②Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n形似n的二次式，且常数项为

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．()

(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.()

(3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．()

(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.()

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于()

A．45B．52

C．108D．54

3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝()

A．230B．420

C．450D．540

4．在等差数列{an}中，a1＝12，S4＝20，则d＝________

题型一等差数列前n项和的基本运算

例1在等差数列{an}中，

(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和

(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；

(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

方法归纳

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．

跟踪训练1在等差数列{an}中，

(1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求m及a

(2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

(3)已知a3＋a15＝40，求S17.

题型二等差数列前n项和性质的应用

例2(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()

A．130B．170

C．210D．260

(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n+2n+3，则

状元随笔(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．

(2)中a5b5＝qa

方法归纳

等差数列前n项和的常用性质

(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．

(2)数列Snn是等差数列，公差为数列{an}的公差的

(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式ambn＝2n-12m-1·S

(4)用公式Sn＝na1+an2时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an

跟踪训练2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于()

A．18B．17

C．16D．15

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．

题型三等差数列前n项和的最值问题

例3在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a10，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．

变式探究将本例中“a10，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取得最大值时，n的值为___