2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　§4　数列在日常经济生活中的应用.docx

[学习目标]1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式.2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用．

一、单利与复利

问题1在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中银行又是采用怎样的计息方式呢？

知识梳理

1．单利与复利

(1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝________________.

(2)复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.

2．零存整取与定期自动转存

(1)零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝__________________.

(2)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝________________.

角度1零存整取模型

例1王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.

(1)若王先生每月初存入一定金额，希望到3年后整取时支取本利和为2万元，则他每月应存入多少元(精确到1元)?

(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本利和约为多少元？(精确到1元)

角度2定期自动转存模型

例2某家庭打算2024年新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2016年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2024年年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取出多少元？

反思感悟“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列．

跟踪训练1某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2000元，连续存5年，有以下两种存款的方式：

(1)如果按5年期零存整取计，即每年存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利和(n为年数)；

(2)如果按每年转存计，即每年存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利和(n为年数)．

请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利和较高？

二、分期付款问题

问题2王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？

知识梳理

分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．

例3某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003375120≈1.49828)

反思感悟(1)做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.

(2)等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．

跟踪训练2用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？

1.知识清单：

(1)单利与复利．

(2)零存整取、定期自动转存、分期付款模型．

2．方法归纳：构造法、转化法．

3．常见误区：

(1)题意理解错误，没能构造出合适的数列模型．

(2)数列模型的首项与项数弄错．

1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()

A．5×(1＋2＋3＋…＋12)元

B．5×(1＋2＋3＋…＋11)元

C．1000×[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元

D．1000×[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元

2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分