专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题(学生版) .pdfVIP

专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外

接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象

能力以及化归能力。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键

是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的

半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多

面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相

等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球

的半径。

球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突

破口。解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。常见题型有求对应外接球或

内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，

并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。

一.常见模型归纳

1.墙角模型

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。外接球的直

径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝

a222

＋b＋c

a2222

＋b＋c。)，秒杀公式：R＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

4

DCDCDCDC

11111111

ABABABAB

11111111

DCDCDCDC

ABABABAB

类型Ⅰ类型Ⅱ类型Ⅲ例外型

π

【例1】已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，

3

点C∈l，BC＝22，PA＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体PACD的四个顶点都

在同一球面上，则该球的体积为________．

【例2】已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分

别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．

A．8B．4C．2D．

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