2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　章末复习课 (2).docx

一、导数的计算

1．此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．

2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．

例1(1)已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x2)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于()

A.eq\f(lnx,x3) B.eq\f(1,x3)

C.eq\f(1－lnx,x3) D.eq\f(1－2lnx,x3)

(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.

反思感悟导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．

跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为()

A．x－y＋3＝0

B．x＋y－3＝0

C．x－y－3＝0

D．x＋y＋3＝0

(2)已知曲线f(x)＝alnx＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为()

A．－3B．1C．2D．3

二、函数的单调性与导数

1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．

2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．

例2已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范围．

反思感悟利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．

跟踪训练2设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()

A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点

B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点

D．x＝2为f(x)的极小值点

三、与导数有关的综合性问题

1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在高考题解答题中，难度中高档．

2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．

例3已知函数f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)－a，求a的取值范围．

反思感悟综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题．

跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．