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7.1实际问题中导数的意义
[学习目标]1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题.
一、导数在物理学中的应用
例1物体作自由落体运动,其方程为s(t)=eq\f(1,2)gt2(其中位移单位:m,时间单位:s,g=9.8m/s2).
(1)计算当t从2s变到4s时位移s关于时间t的平均变化率,并解释它的意义;
(2)求s′(2),并解释它的意义.
反思感悟在物理学中:
(1)瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,它是位移s关于时间t的导数;速度v关于时间t的导数是加速度.
(2)功与功率:通常称力在单位时间内做的功为功率,它是功W关于时间t的导数.
(3)线密度:单位长度的物质质量称为线密度,它是质量关于长度的导数.
跟踪训练1某人拉一车前行,他所做的功(单位:J)是时间t(单位:s)的函数,其函数关系式为W(t)=t3-2t+1.
(1)求t从1s变到3s时,功W关于时间t的平均变化率,并解释其意义;
(2)求W′(1),W′(2),解释它们的意义.
二、导数在经济活动中的应用
例2某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)=eq\f(1,4)x2+60x+2050.求当日产量由10件提高到20件时,总成本的平均改变量,并说明其实际意义.
延伸探究若本例的条件不变,求当日产量为75件时的边际成本,并说明其实际意义.
反思感悟在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题,在讨论其改变量时常用导数解决.
跟踪训练2东方机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c(单位:元)与生产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7000x+600.
(1)求产量为1000台的总利润与平均利润;
(2)求产量由1000台提高到1500台时,总利润的平均改变量;
(3)求c′(1000)与c′(1500),并说明它们的实际意义.
三、导数在生活中的应用
例3某年高考,某考生在参加数学学科考试时,其解答完的题目数量y(单位:道)与所用时间x(单位:分钟)近似地满足函数关系y=f(x)=2eq\r(x).
(1)求x从0分钟变化到36分钟时,y关于x的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求f′(64),f′(100),并解释它们的实际意义.
反思感悟解决实际问题的一般步骤
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
跟踪训练3一名工人上班后开始连续工作,生产的产品数量y(单位:g)是工作时间x(单位:h)的函数,设这个函数表示为y=f(x)=eq\f(x2,20)+4eq\r(x).
(1)求x从1h变到4h时,y关于时间x的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求f′(1),f′(4),并解释它的实际意义.
1.知识清单:
(1)导数在物理学中的应用.
(2)导数在经济活动中的应用.
(3)导数在生活中的应用.
2.方法归纳:数学建模.
3.常见误区:忽略实际问题的定义域.
1.某人拉动一个物体前进,他所做的功W是时间t的函数W=W(t),则W′(t0)表示()
A.t=t0时做的功 B.t=t0时的速度
C.t=t0时的位移 D.t=t0时的功率
2.在一次降雨过程中,降雨量y是时间t的函数,用y=f(t)表示,则f′(10)表示()
A.t=10时的降雨强度
B.t=10时的降雨量
C.t=10时的时间
D.t=10时的温度
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2,则其在t=4时的瞬时速度为()
A.12B.-12C.4D.-4
4.某汽车的路程函数是s=2t3-eq\f(1,2)gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,汽车的加速度是________m/s2.
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