2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式.docx

3．1等比数列的概念及其通项公式

第1课时等比数列的概念及通项公式

[学习目标]1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算．

一、等比数列的概念

问题1观察下面几个数列：

(1)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，….

(2)1，－1,1，－1,1，….

(3)eq\f(1,2)，－1,2，－4,8，….

上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？

知识梳理

等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是________________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．

例1(1)(多选)下列各组数成等比数列的是()

A．1，－2,4，－8 B．－eq\r(2)，2，－2eq\r(2)，4

C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4

(2)以下数列中是等比数列的有________．(填序号)

①数列1,2,6,18，…；

②数列{an}中，已知eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2；

③常数列a，a，a，…，a，…；

④数列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N＋.

反思感悟等比数列定义的理解

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．

(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq\f(an＋1,an)的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．

跟踪训练1判断下列数列是否为等比数列：

(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；

(2)－1,1,2,4,8，…；

(3)a，－a，a，－a，….

二、等比数列的通项公式

问题2类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

知识梳理

等比数列的通项公式

若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________________(a1≠0，q≠0)．

例2在等比数列{an}中．

(1)已知a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求an；

(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.

延伸探究本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5.

反思感悟(1)等比数列通项公式的求法

①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．

跟踪训练2在等比数列{an}中，

(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；

(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.

三、等比数列通项公式的应用

例3有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

跟踪训练3已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－eq\f(3,2)，则这三个数依次为________________．

1.知识清单：

(1)等比数列的概念及判断．

(2)等比数列的通项公式．

(3)等比数列中项的设法．

2．方法归纳：方程(组)思想、构造法．

3．常见误区：

(1)四个数成等比数列时设成eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．

(2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．

1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()

A．±eq\f(1,2) B．±2

C.eq\f(1,2) D．－2

2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()

A．4B．8C．6D．32

3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.

4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．