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向量与三角形的四心、奔驰定理

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【知识清单】

1向量与重心

(1)重心定义:三角形三条中线的交点叫做三角形的,一般记为G.

(2)G是△ABC的重心⇐⇒G的坐标为;

#»#»#»

(3)G是△ABC的重心⇐⇒GA+GB+GC=;

#»#»#»

(4)若AP=λ(AB+AC),λ∈R,则P在BC边的上;

#»#»#»

(5)若G是△ABC的重心,P是△ABC所在平面内一点则PG=(PA+PB+

#»

PC);

222

(6)若G是△ABC的重心,则当P在G处时,|PA|+|PB|+|PC|取得最

值;

(7)若G是△ABC的重心,则S△GAB:S△GBC:S△GAC:S△ABC=.

2向量与垂心

(1)垂心定义:三角形三条高线的交点叫做三角形的;

()

#»#»

#»ABAC

(2)若AP=λ+,λ∈R,则P在BC边的上;

ccosBbcosC

##»»##»»##»»

(3)在△ABC中,HA·BC=HB·AC=HC·AB⇐⇒H是三角形ABC的

;

##»»##»»##»»

(4)在△ABC中,HA·HB=HB·HC=HC·HA⇐⇒H是三角形ABC的

;

#»#»#»#»#»#»

222222⇐⇒H是三

HA|+|BC|=|HB|+|CA|=|HC|+|AB|

(5)在△ABC中,|

角形ABC的.

3向量与外心

(1)三角形三条边的中垂线（垂直平分线）的交点叫做三角形的,即三角

形的圆心.

(2)外心到三角形的三个的距离相等;

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(3)锐角三角形的外心在三角形