2025北师大版步步高选择性必修第二册1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率.DOCX

1.1平均变化率

1.2瞬时变化率

课标要求1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.

素养要求通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，提升逻辑推理和数学抽象素养.

一、平均变化率

1.思考如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25℃，10时的气温是29℃，12时的气温是30℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？

提示用平均变化率比较不同时间段内的气温变化的大小.从6时到10时的气温变化率为eq\f(29－25,10－6)＝1，从10时到12时的气温变化率为eq\f(30－29,12－10)＝eq\f(1,2)，则前者的气温变化大.

2.思考下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：

x/min

0

10

20

30

40

50

60

y/℃

39

38.7

38.5

38

37.6

37.3

36.9

观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？

提示每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢.

3.填空平均变化率

对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).

通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比.即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.

温馨提醒(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零.

(2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt).

4.做一做(1)在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足()

A.Δx＞0 B.Δx＜0

C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数

(2)若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是________.

答案(1)C(2)3

解析(1)因为平均变化率为eq\f(Δy,Δx)，故Δx≠0.

(2)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(（22＋1）－（12＋1）,2－1)＝3.

二、瞬时变化率

1.思考我们经常看到在道路旁立着许多交通标志，如图所示的限速标志表示允许行驶的最大速度是80km/h.

你知道这个数据表达的物理意义吗？

提示不超过80km/h，即汽车的速度每时每刻都不超过这个数据，而不是一段时间内的平均速度，所以物理意义是瞬时速度.

2.填空对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变化到x1的过程中.

若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为

eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)

如果Δx趋于0，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.

温馨提醒(1)平均变化率与瞬时变化率的关系

①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；

②联系：当Δx趋于0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.

(2)“Δx趋于0”的含义

Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.

3.做一做(1)一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为()

A.4 B.5

C.6 D.7

(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________.

答案(1)C(2)2

解析(1)由eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝Δt＋6，

当Δt趋向于0时，eq\f(Δs,Δt)趋向于6，故选C.

(2)∵f(x)＝x2，

∴在x＝1处的平均变化率为

eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx