数学·选择性必修第二册（BSD版）2.6.1.1.docx

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§6用导数研究函数的性质

必威体育精装版课程标准

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．

2．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．

学科核心素养

1.了解函数的单调性与导数的关系，以及函数的极值、最值的相关概念．(数学抽象)

2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．(数学运算)

3．能利用导数求函数的极值与给定闭区间上的最值．(数学运算)

4．能利用导数研究与函数单调性、极值、最值等相关的问题．(数学运算、逻辑推理)

6.1函数的单调性

第1课时函数的单调性与导数

[教材要点]

要点导数与函数的单调性

在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

导数

函数的单调性

f′(x)0

单调________

f′(x)0

单调________

f′(x)＝0

常数函数

状元随笔(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递减．()

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()

A．f′(3)0B．f′(3)0

C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定

3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

题型一导函数与原函数图象间的关系

例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()

(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是()

方法归纳

函数与导数图象间的关系

判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．

(2)导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快

函数值增加得越来越慢

f′(x)0且越来越大

f′(x)0且越来越小

函数值减少得越来越快

函数值减少得越来越慢

f′(x)0且越来越小

绝对值越来越大

f′(x)0且越来越大

绝对值越来越小

跟踪训练1(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()

题型二用导数研究不含参数的函数单调性

例2判断下列函数的单调性

(1)f(x)＝x2－lnx；

(2)f(x)＝ex

(3)f(x)＝x3＋3x

方法归纳

用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导函数f′(x)；

(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)；

(4)写出结论．

跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝xlnx，x∈(0，5)，下列判断正确的是()

A．在(0，5)上是增函数

B．在(0，5)上是减函数

C．在(0，1e)上是减