专题2.1 函数的概念（八大重难点题型,精讲）解析版.docx

专题2.1函数的概念

目录

一、考纲要求

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).

4.培养学生数学抽象、数学运算能力。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域．

（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

（3）了解简单的分段函数，并会简单的应用．

2022年浙江卷第14题，5分

2021年浙江卷第12题，5分

高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．

四、考点梳理

考点一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

函数

映射

两个集合A、B

设A、B是两个非空数集

设A、B是两个非空集合

对应关系

按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

f：A→B

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

考点二、函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.

(6)y＝logax(a0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).

(7)y＝tanx的定义域为.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.

(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，

当a0时，二次函数的值域为；

当a0时，二次函数的值域为.

求二次函数的值域时，应掌握配方法：.

(4)y＝sinx的值域为[?1,1]．

考点三、分段函数

分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

考点四、复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

【知识拓展】

1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x?1，g(t)＝2t?1，h(m)＝2m?1均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并