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（完整）向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

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向量中的经典“奔驰定理证明及应用与推广

一、奔驰定理及证明

图1

P

如图1，已知为ABC内一点，则

PASPBSPCS0奔驰定理

BPCAPCAPB

证明：若，则，不妨设

PAPBPC0P为ABC重心xPAPA,yPBPB,zPCPC

xPAyPBzPC0(1)

SxS

11|PB||PC|

S|PB||PC|sinBPCsinBPCPBCPBC

PBC22yzyzxyz

同理可得yS，zS

SPACSPAB

PACxyzPABxyz

又SSS

PBCPACPAB

x:y:zS:S:S

PBCPACPBC

(1)式可化为PASPBSPCS0奔驰定理得证

BPCAPCAPB

最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积,得到三

个单位