专题3.4 重难点突破之指对幂比较大小（四大重难点题型精讲）解析版.docx

专题3.4重难点突破之指对幂比较大小

指数、对数与幂函数比较大小的常用方法：

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．

（2）指、对、幂大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．

（3）转化为两函数图象交点的横坐标

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

题型1：直接法比较大小

例1．已知，，，则的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小

【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.

【详解】由于，，，

所以，

故选：B

例2．（2023·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

，

所以.

故选：C.

例3．已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小

【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.

【详解】因为，，所以.

又，所以.

故选：A.

例4．（2024·安徽淮北·统考一模）已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的单调性和对数函数的单调性即可得出答案.

【详解】因为，

注意到，

.又，所以.

故选：A.

1．已知，，，则，，的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】指数式与对数式的互化、比较对数式的大小

【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可.

【详解】因为，可得，

且，则，可得，所以；

又因为，则，所以；

综上所述：.

故选：C

2．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

，又，

，即.

故选：D.

3．设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小

【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小.

【详解】，，

.

综上，．

故选：B.

4．设，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小

【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解.

【详解】，

，而

而，因为，所以，

所以，故，

所以.

故选：B

题型2：利用指数、对数与幂的性质的化简比较大小

例5．已知正数满足，则的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、判断零点所在的区间

【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小.

【详解】由，得，

令函数，显然函数在上单调递增，

而，，则；

令函数，函数在上单调递增，，

而，，则；

令，函数在上单调递增，而，

，，则，

所以的大小关系为.

故选：D

例6．（2021·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用分数指数幂计算，对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得.

【详解】，又，

所以a，b，c的大小关系是.

故选：A

例7．（2023·全国·模拟预测）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解法一：将已知数转化为指数、对数的形式，然后利用指数函数或者对数函数的单调性比较大小；

解法二：将已知数转化为同一结构的形式，然后构造新的函数，利用函数的单调性求解.

【详解】解法一：由题可知a，b，c均为负数，设，则，

所以，（根据函数与的图象知，当时，，故）

由得；，由得.

所以，

故选：D.

解法二：设，则，

所以，

设，则，当时，，故在上单调递增，

又易知，所以，

所以，又，所以，

故选：D.

例8．已知，，，则，，的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】比较正切值的大小、比较对数式的大小

【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可比较大小.

【详解】令，则在上单调递增函数，

由于，

则，,，

所以，

故选：B

1．已知实数满足，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】比较指数