专题3.5 重难点突破之构造函数（模拟+真题精练）解析版.docx

专题3.5重难点之构造函数

一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，对任意，，都有恒成立，则下列结论成立的是（????）

A．当为偶数时，在上为增函数

B．当为偶数时，存在使得

C．当为奇数时，在上为增函数

D．当为奇数时，存在使得

【答案】C

【分析】令，分为奇数或偶数判断的符号得出的单调性，然后分，判断的符号，即可得解．

【详解】因为对任意，，都有，

所以，所以，

令，

当为奇数时，则，

在上为增函数，

∵，∴当时，，则；

当时，，则，∴恒大于0；

当为偶数时，当时，，

则在上单调递增，且，则；

当时，，则在上单调递减，

且，，∴恒大于0，

故选：C．

2．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数fx在定义域均为且是偶函数，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意得函数在上单调递增，因为，所以，得，求解即可．

【详解】由，得，

则当时，得，

，

则当时，，得函数在上单调递增，

因为，所以，

由于是偶函数，则，

而函数在上单调递增，得，

得，

得，

故选：C

3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设，，

所以函数单调递增，

，

即，得，所以，

所以不等式的解集为.

故选：D

4．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，构造函数，讨论函数的单调性，将转化为，结合单调性解不等式即可求解.

【详解】由题意知，在上单调递增，则，

不等式恒成立转化为，即，

设，则，

所以在上单调递减，则，

由，得，

即，所以，解得，

即实数m的取值范围为.

故选：D

5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.

【详解】不等式等价于，

令，根据题意对任意的，

当时，，所以函数在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

令，则，

所以当时，，单调递增，

当时，单调递减.所以，所以.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立；

（2）恒成立.

6．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，由题意可得出在R上单调递增，所以不等式可变形为得，由单调性解不等式即可得出答案.

【详解】令，则，

则在R上单调递增，，

由可得，即，

得，，

故选：B．

7．（22-23高三上·山东泰安·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据构造函数，然后分析的奇偶性和单调性，再将问题转化为解不等式，由此可得结果.

【详解】构造函数，

因为是上的偶函数且也是上的偶函数，

所以是上的偶函数，

因为时，，所以在上单调递增，

所以在上单调递减，

又因为，所以且，

所以，所以，解得或，

故选：B.

8．（23-24高三上·江苏淮安·期中）若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先构造函数，判断函数的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数的性质求解即可.

【详解】令

为定义在上的偶函数

则函数为定义在上的偶函数

，当时，

函数在上单调递减，在上单调递增.

不等式可变为，

即

故，解得或

所以不等式解集为：.

故选：A.

9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解.

【详解】设，则，

故在定义域上是增函数，所以，

即，所以.

故选：D.

10．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案．

【详解】令，

则，即，

故函数是定义在上的奇函数，

当,时，，则，

故在,上单调递增，在,上单调递增，

所以在上单调递