2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　6.3　第1课时　函数的最值.docx

6．3函数的最值

第1课时函数的最值

[学习目标]1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．

一、函数最值的概念

问题如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．

(1)观察在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？

(3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？

知识梳理

函数的最值点与最值

(1)最值点

①最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都________f(x0)．

②最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都________f(x0)．

(2)最值：函数的____________________与________________统称为最值．

(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；

②将函数y＝f(x)的________________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________________，最小的一个是________________．

例1如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．

反思感悟最值与极值的区别与联系

(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．

(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．

(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．

(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．

跟踪训练1(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是()

A．f(x)在区间(－1,1)上单调递增

B．x＝－1是函数f(x)的极小值点

C．函数f(x)在x＝1处取得最小值

D．f(x)的图象在x＝2处的切线斜率小于零

二、求函数的最值

例2求下列函数在给定区间上的最值：

(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；

(2)f(x)＝sin2x＋x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).

跟踪训练2求下列函数的最值：

(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－eq\r(3)，3]；

(2)f(x)＝x2－eq\f(54,x)(x＜0)．

三、利用最值证明不等式

例3已知函数f(x)＝ex－e(lnx＋1)，求证：f(x)≥0恒成立．

反思感悟证明不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．

跟踪训练3已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．

1.知识清单：

(1)函数最值的定义．

(2)求函数的最值．

(3)函数最值的应用．

2．方法归纳：转化化归、分类讨论．

3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．

1．下列结论正确的是()

A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得

D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值

2．函数y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()

A．π－1 B.eq\f(π,2)－1

C．π D．π＋1

3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是()

A．1，－1 B．1，－17

C．3，－17 D．9，－19

4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．