2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　3.2　第1课时　等比数列的前n项和公式.docx

3．2等比数列的前n项和

第1课时等比数列的前n项和公式

[学习目标]1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

一、等比数列前n项和公式的基本运算

问题若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？

知识梳理

等比数列的前n项和公式

已知量

首项a1，项数n与公比q

首项a1，末项an与公比q

公式

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1))

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))

例1求下列等比数列前8项的和：

(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；

(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q0.

反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．

跟踪训练1(1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝eq\f(1,2)，那么它的前5项和S5的值为()

A.eq\f(31,2)B.eq\f(33,2)C.eq\f(35,2)D.eq\f(37,2)

(2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝________.

二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用

例2在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

反思感悟在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．

跟踪训练2等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝________.

三、等比数列前n项和公式的实际应用

例3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？

反思感悟解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项

(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．

(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．

(3)实际问题解答完成后一定要有结论．

跟踪训练3国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(精确到年，参考数据：1.128≈2.476，1.127≈2.211)

1.知识清单：

(1)等比数列前n项和公式．

(2)等比数列的前n项和公式的应用．

2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法．

3．常见误区：

(1)忽略q＝1的情况而致错．

(2)忽略对参数的讨论．

1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于()

A．－63B．31C．－31D．63

2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为()

A.eq\f(104－1,90) B.eq\f(105－1,900)

C.eq\f(105－9,90) D.eq\f(104－9,900)

3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.

4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.