2025北师大版步步高选择性必修第二册进阶训练5(范围：第二章§1～§3).DOCX

进阶训练5(范围：第二章§1～§3)

一、基础达标

1.设函数y＝f(x)可导，则eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,3Δx)等于()

A.f′(1) B.3f′(1)

C.eq\f(1,3)f′(1) D.以上都不对

答案A

解析eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,3Δx)＝eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,（1＋3Δx）－1)＝f′(1).故选A.

2.函数y＝eq\r(x)在x＝1处的瞬时变化率为()

A.2 B.eq\f(1,2)

C.－eq\f(1,2) D.1

答案B

解析∵y＝eq\r(x)，∴y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴y′|x＝1＝eq\f(1,2)，所以函数y＝eq\r(x)在x＝1处的瞬时变化率为eq\f(1,2)，故选B.

3.曲线f(x)＝lnx在点(1，0)处的切线方程为()

A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0

C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0

答案A

解析f′(x)＝eq\f(1,x)，f′(1)＝1，根据导数的几何意义可知曲线在(1，0)处的切线的斜率k＝1，所以曲线f(x)＝lnx在点(1，0)处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.故选A.

4.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)0(x1x0≥0)恒成立，且eq\f(f（10）－f（0）,10)＝10，eq\f(f（20）－f（10）,10)＝1，则说明后10天与前10天比()

A.公司亏损且亏损幅度变大

B.公司的盈利增加，增加的幅度变大

C.公司亏损且亏损幅度变小

D.公司的盈利增加，增加的幅度变小

答案D

解析由eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)0(x1x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单增，即盈利增加，

又平均变化率eq\f(f（10）－f（0）,10)＝10eq\f(f（20）－f（10）,10)＝1说明盈利增加的幅度变小，故选D.

5.函数y＝f(x)在P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝()

A.0 B.eq\f(1,2)

C.eq\f(3,2) D.－eq\f(1,2)

答案A

解析因为切线过(2，0)和(0，－1)，所以f′(1)＝eq\f(0＋1,2－0)＝eq\f(1,2)，所以切线方程为y＝eq\f(1,2)x－1，取x＝1，则y＝－eq\f(1,2)，所以f(1)＝－eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0.故选A.

6.物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)＝3t2＋t.在区间[2，2＋Δt]内的平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝______，当Δt趋近于0时，平均速度eq\o(v,\s\up6(－))趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t＝2时的瞬时速度大小为________.

答案13＋3Δt13

解析由s(t)＝3t2＋t得

eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)

＝eq\f(3（2＋Δt）2＋（2＋Δt）－3×22－2,Δt)

＝13＋3Δt，

当Δt趋近于0时，eq\o(v,\s\up6(－))＝13＋3Δt＝13.

7.已知函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________.

答案k1k2

解析当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))时，平均变化率

k1＝eq\f(sin\f(π,6)－sin0,\f(π,6))＝eq\f(3,π)，

当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，平均变化率

k2＝eq\f(sin\f(π,2)－sin\f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq\f(3（2－\r(3)）,π)，故k1k2.

8.已知直线l1是曲线y