指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课.docx

第六讲指数函数和对数函数

指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。

一、指数的性质

（一）整数指数幂

1．整数指数幂概念：

2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）

（3）

其中，．

3．的次方根的概念

一般地，如果一个数的次方等于，则这个数叫做的次方根，

即：若，则叫做的次方根，

例如：27的3次方根，的3次方根，

32的5次方根，的5次方根．

说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；

②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）

③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；

④∴；

⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．

4．的次方根的性质

一般地，若是奇数，则；

若是偶数，则．

5．例题分析：

例．计算：

解：

（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

幂的运算性质对分数指数幂也适用，

例如：若，则，，∴．

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；

（2）正数的负分数指数幂的意义是．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：

，，.

解：=；

=；

=．

【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）；（2）；

解（1）（2）==．

=

=；

例3．计算下列各式：

（1）（2）．

解：（1）==（2）=．

==；

【例3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

解：（1）

，

∴，

又由得，∴，

所以.

（2）（法一）

，

（法二）

而

∴，

又由得，∴，

所以.

二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．

2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：

图象

性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）过定点，即时

（4）在上是增函数

（4）在上是减函数

【例1】求下列函数的定义域、值域：

（1）（2）（3）（4）．

解：（1）∴原函数的定义域是，

令则

∴得，

所以，原函数的值域是．

（2）∴原函数的定义域是，

令则，

在是增函数∴，

所以，原函数的值域是．

（3）原函数的定义域是，

令则，

在是增函数，∴，

所以，原函数的值域是．

（4）原函数的定义域是，

由得，

∴，∴，

所以，原函数的值域是．

说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

【例2】当时，证明函数是奇函数。

证明：由得，，

故函数定义域关于原点对称。

∴

所以，函数是奇函数。

三、对数的性质

1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就是，则数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。

指数式

底数

幂

指数

对数式

对数的底数

真数

对数

说明：1．在指数式中幂N0，∴在对数式中，真数N0．（负数与零没有对数）

2．对任意且,都有∴，同样：．

3．如果把中的写成，则有（对数恒等式）．

2．对数式与指数式的互换

例如：，；，；

，；，。

【例1】将下列指数式写成对数式：

（1）；（2）；（3）；（4）．

解：（1）；（2）；（3）；（4）．

3．介绍两种常见的对数：

①常用对数：以10作底简写成；

②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，简写成．

【例2】（1）计算：，．

解：设则，,∴；

令，∴,,∴．

（2）求x的值：①；②．

解：①；

②

但必须：，∴舍去，从而．

（3）求底数：①，②．

解：①∴；

②,∴．

4．对数的运算性质：

如果a0，a?1，M0，N0，则

（1）；

（2）；

（3）．

【例3】计算：

（1）lg1421g；（2）；（3）．

解：（1）解法一：

；

解法二：

=；

（2）；

（3）=．

5．换底公式：(a0,a?1；)

证明：设，则，

两边取以为底的对数得：，∴，

从而得：，∴．

说明：两个较为常用的推论：

（