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《一元二次不等式的应用》教学设计

教学设计

一、创设情境，引入课题

问题1：解一元二次不等式的一般步骤是什么？

教师找学生回答.

生：解一元二次不等式的一般步骤如下：

（1）化二次项系数a为正数；

（2）计算根的判别式，确定对应方程的实数根的情况；

（3）画出对应函数的图象（示意图即可）；

（4）根据图象，得出不等式的解集.

问题2：上一节中，关于“刹车距”的问题：

乙车刹车距s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间有函数关系：

，

乙车的刹车距超过10m，道路限速40km/h，这辆车是否超速？

解：由题意，列出不等式，解得（舍去）或，该车超速！

师：这就是利用一元二次不等式解决实际问题，我们这一节课继续研究这个问题.

设计意图：通过复习回顾上一节学习的一元二次不等式的解法，便于本节课从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的求解.通过上一节的“刹车距”问题，引入本节课的课题.

二、应用举例

例1某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满该农家院欲提高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？

问题3：你能建立日租金提高后客房租金总收入与提高租金的钱数的函数关系吗？

学生思考并回答：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元.

追问1：总租金不低于1800元，如何用不等式表示？你能解出这个不等式吗？

学生完成列式与解答过程，教师巡视，发现问题及时指导.

学生回答：总租金不低于1800元，即，即.

化简，得.

解得.

追问2：每间客房日租金不得超过130元，如何用不等式表示？

学生回答：，所以，

所以，故.

追问3：如何用上面的结果解释该实际问题？

学生回答：该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.

教师板书解答过程：

解：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元.

又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，

所以.

化简，得，解得.

由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以.

因此，，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.

设计意图：通过本例题让学生知道如何从实际情境中抽象出一元二次函数与一元二次不等式，要注意关注每一个条件的运用.

例2为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：.

（1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价x的函数关系；

（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？

教师先引导学生分析题意，然后找两名学生板演，师生共同评价.

分析：（1）通过阅读题目，理清关系，这里的关系是“每月获得的利润=每件的销售利润×每月的销售量”，建立数学模型；（2）根据第（1）问构建的函数模型，根据“每月获得的利润不小于3000元”构建不等式模型，求解一元二次不等式.

解：（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为.

（2）由每月获得的利润不小于3000元，得

.

化简，得，解得.

又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，

所以.

设政府每个月为他承担的总差价为p元，则

.

由，得.

故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元.

设计意图：用所学知识解决实际问题，让学生进一步感受一元二次不等式在实际生活中的应用.在抽象出数学关系的过程中提升数学建模素养，在求解过程中提升数学运算素养.

三、抽象概括

教师引导学生总结利用不等式解决实际问题的一般步骤.

利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：

（1）选取合适的字母表示题中的未知数；

（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；

（3）求解所列出的不等式（组）；

（4）结合题目的实际意义确定答案.

设计意图：结合例题，和学生一起归纳总结出利用