北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含答案].docx

北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，则（????）

A． B．8 C．3 D．9

2．直线y＝－2x－7在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是()

A．a＝－7，b＝－7 B．a＝－7，b＝－

C．a＝－，b＝7 D．a＝－，b＝－7

3．在平行六面体中，若，则的值等于（????）

A． B． C． D．

4．方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（????）

A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4

5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，a∥b，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则a∥b

6．若直线与直线互相平行，则的值是（????）

A． B． C．或 D．或

7．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（????）

A． B．

C．2 D．

8．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（????）

A． B． C． D．

9．已知动直线l与圆交于、两点，且.若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（????）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点，给出下面四个命题：

①曲线上的点关于轴、轴对称；????②曲线上两点间的最大距离为；

③OP的取值范围为；????④曲线围成的图形的面积小于.

则以上命题中正确命题为（????）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

二、填空题

11．直线的倾斜角为，经过点且与直线垂直的直线方程为.

12．已知正方体的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面的距离为的一个顶点为.

13．直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为.

14．设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则点坐标为，的最大值为.

15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①平面截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；

④△面积的最小值是．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，点是的中点，点是平面与直线的交点.

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

17．已知圆过原点和点，圆心在轴上.

(1)求圆的方程；

(2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程.

18．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.

(1)证明：平面平面；

(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

D

B

D

A

D

B

D

B

1．C

【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可.

【详解】

故选：C

2．D

【详解】令x＝0，得y＝－7，即b＝－7，

令y＝0，得x＝－，即a＝－.

故答案选D．

3．D

【分析】根据条件用表示出，结合空间向量基本定理求出a，b，c即可.

【详解】在平行六面体中，，如图，

则有，而，且不共面，

于是得，即，则，

的值等于

故选：D

4．B

【分析】利用配方法将方程化为圆的标准形式，列出方程可得的值．

【详解】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为：

，解得

故选：B

【点睛】本题考查圆的方程，考查一般形式和标准形式的互化，考查学生计算能力，属于基础题．

5．D

【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D