2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　习题课　函数零点问题.docx

习题课函数零点问题

[学习目标]结合函数图象利用导数研究函数的零点问题．

一、利用导数研究函数的零点个数

例1给定函数f(x)＝ex－x.

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；

(2)画出函数f(x)的大致图象；

(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．

反思感悟判断函数零点个数的方法

(1)含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．

(2)利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．

跟踪训练1已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)－1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．

二、由函数的零点个数求参数的范围

例2已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．

反思感悟利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．

跟踪训练2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－eq\f(4,3).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．

1.知识清单：

(1)利用导数研究函数零点的个数．

(2)已知函数的零点求参数的取值范围．

2．方法归纳：转化法、数形结合法、分类讨论法．

3．常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数．

1．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为()

A．0B．1C．2D．不确定

2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x＋c有三个零点，则实数c的取值范围为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，\f(10,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(7,6)))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，－\f(7,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，\f(10,3)))

3．已知函数f(x)＝sinx－xcosx，现给出如下结论，其中不正确的结论为()

A．f(x)是奇函数

B．0是f(x)的极值点

C．f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有且仅有一个零点

D．f(x)的值域为R

4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．