【苏教版】一轮优化探究理数练习：第四章 第五节　简单的三角变换（含解析）.docVIP

一、填空题

1、已知cos2α＝eq\f(1,4)，则sin2α＝________.

解析：cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(1,4)，解得sin2α＝eq\f(3,8).

答案：eq\f(3,8)

2、函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)(x∈R)的最小正周期是________。

解析：f(x)＝cosx(sinx＋cosx)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，所以最小正周期为π.

答案：π

3、已知sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,3)，则cos(eq\f(2π,3)－2α)的值等于________。

解析：∵eq\f(π,6)＋α＋eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)，

∴sin(eq\f(π,6)＋α)＝cos(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,3)，

∴cos(eq\f(2π,3)－2α)＝cos2(eq\f(π,3)－α)＝2cos2(eq\f(π,3)－α)－1

＝2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(7,9).

答案：－eq\f(7,9)

4、若sin(eq\f(3π,2)－2x)＝eq\f(3,5)，则tan2x＝________.

解析：sin(eq\f(3π,2)－2x)＝eq\f(3,5)?cos2x＝－eq\f(3,5)，

tan2x＝eq\f(sin2x,cos2x)＝eq\f(\f(1－cos2x,2),\f(1＋cos2x,2))＝eq\f(1－cos2x,1＋cos2x)＝4.

答案：4

5、已知函数f(x)＝eq\f(1,2tanx)＋eq\f(sin\f(x,2)cos\f(x,2),2cos2\f(x,2)－1)，则f(eq\f(π,8))的值为________。

解析：f(x)＝eq\f(1,2tanx)＋eq\f(sin\f(x,2)cos\f(x,2),2cos2\f(x,2)－1)＝eq\f(1,2tanx)＋eq\f(sinx,2cosx)

＝eq\f(cosx,2sinx)＋eq\f(sinx,2cosx)＝eq\f(1,sin2x)，所以f(eq\f(π,8))＝eq\r(2).

答案：eq\r(2)

6、已知角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，则eq\f(1＋\r(2)cos?2α－\f(π,4)?,sin?α＋\f(π,2)?)等于________。

解析：原式＝eq\f(1＋\r(2)?cos2αcos\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4)?,cosα)

＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cosα)

＝2×(cosα＋sinα)＝2×(eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(14,5).

答案：eq\f(14,5)

7、已知cos(θ＋eq\f(π,6))＝eq\f(5,13)，θ∈(0，eq\f(π,2))，则cosθ＝________.

解析：因为θ∈(0，eq\f(π,2))，所以θ＋eq\f(π,6)∈(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))，

所以sin(θ＋eq\f(π,6))＝eq\f(12,13)，

所以cosθ＝cos[(θ＋eq\f(π,6))－eq\f(π,6)]＝eq\f(5\r(3)＋12,26).

答案：eq\f(5\r(3)＋12,26)

8、已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝________.

解析：∵tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，∴tan2α＝－eq\f(4,3)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，

∴tanα＝－eq\f(1,2)或tanα＝2.

又α在第二象限，∴tanα＝－eq\f(1,2).

答案：－eq\f(1,2)

9、已知tan2θ＝－2eq\r(2)，π2θ2π，则eq\f(2cos2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin?θ＋\f(π,4)?)的值为________。

解析：原式＝eq\f(cosθ－sinθ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(1－tanθ,1＋tanθ)，

又tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2).

解得tanθ＝－eq\f(1,\r(2))或tanθ＝eq\r(2).