2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　6.1　第2课时　函数单调性的综合问题.docx

第2课时函数单调性的综合问题

[学习目标]1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.2.能求简单的含参的函数的单调区间.3.能根据函数的单调性求参数的取值范围．

一、求含参函数的单调区间

角度1对“Δ”进行讨论

例1已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.讨论函数f(x)的单调区间．

角度2对“根的大小”进行讨论

例2已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a＋a2)x2＋a3x＋a2，求函数f(x)的单调递减区间．

反思感悟利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求导数f′(x)．

(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论．

(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)0和f′(x)0，确定函数f(x)的单调区间．

跟踪训练1已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．

二、已知函数的单调性求参数的取值范围

例3已知关于x的函数f(x)＝x3－ax＋b.

(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．

延伸探究将本例(1)改为“若函数f(x)在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？

反思感悟(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．

跟踪训练2若函数f(x)＝2x2＋lnx－ax是定义域上的增函数，求实数a的取值范围．

1.知识清单：

(1)求含参函数的单调区间．

(2)由单调性求参数的取值范围．

2．方法归纳：分类讨论、数形结合．

3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．

1．函数f(x)＝xlnx＋m的单调递增区间是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) B．(0，e)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))

2．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()

A．a≤0B．a1C．a2D．a≤eq\f(1,3)

3．若函数f(x)＝x2－2bx＋6在区间(2,8)上单调递增，则实数b的取值范围是______________．

4．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝________.