2025北师大版步步高选择性必修第二册进阶训练1(范围：第一章§1～§2.1).DOCX

进阶训练1(范围：第一章§1～§2.1)

一、基础达标

1.现有这么一列数：1，eq\f(3,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,8)，()，eq\f(11,32)，eq\f(13,64)，…，按照规律，()中的数应为()

A.eq\f(9,16) B.eq\f(11,16)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(11,18)

答案A

解析由题意知，一列数：1，eq\f(3,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,8)，()，eq\f(11,32)，eq\f(13,64)，…，可得每个数的分母为2n－1，n∈N＋，分子为连续的奇数，所以()中的数应为eq\f(9,16)，故选A.

2.已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝eq\f(2,an)＋1，则这个数列的第4项是()

A.eq\f(11,7) B.eq\f(11,5)

C.eq\f(21,11) D.6

答案B

解析由a1＝1和an＋1＝eq\f(2,an)＋1可得a2＝eq\f(2,a1)＋1＝3，a3＝eq\f(2,a2)＋1＝eq\f(5,3)，a4＝eq\f(2,a3)＋1＝eq\f(11,5).

3.在数列{an}中，a2＝3，a3＝5，且an＋2＝2an＋1－an，则a6＝()

A.9 B.11

C.13 D.15

答案B

解析因为an＋2＝2an＋1－an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列.

因为a2＝3，a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以a6＝a1＋5d＝11.故选B.

4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若该金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为()

A.6斤 B.9斤

C.10斤 D.12斤

答案B

解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，则d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝eq\f(2－4,4)＝－eq\f(1,2)，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋2d＝3，∴中间三尺的重量为9斤.故选B.

5.(多选)设{an}是等差数列.下列结论中不正确的是()

A.若a1＋a20，则a2＋a30

B.若a1＋a30，则a1＋a20

C.若0a1a2，则a2eq\r(a1a3)

D.若a10，则(a2－a1)(a2－a3)0

答案ABD

解析先分析四个答案，

对于A，举一反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a20而a2＋a30，A错误；

对于B，举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a30，而a1＋a20，B错误；

对于D，a2－a1＝d，a2－a3＝－d，

∴(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，故D错；

对于C，{an}是等差数列，若0a1a2，则a10，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq\o\al(2,1)－2a1d＝d20，则aeq\o\al(2,2)a1a3?a2eq\r(a1a3)，故选ABD.

6.已知数列{an}的前两项分别为3，6，写出{an}的一个通项公式：________________.

答案an＝3n(n∈N＋)(答案不唯一)

解析因为数列{an}的前两项分别为3，6，所以当该数列为等差数列时，an＝3n，故答案为an＝3n(n∈N＋)(答案不唯一，比如an＝3×2n－1，an＝n2＋2，…).

7.在等差数列{an}中，若a1＝3，a2＋a5＝10，则a6＝________.

答案7

解析因为{an}是等差数列，所以a2＋a5＝a1＋a6＝10，所以a6＝10－a1＝10－3＝7.

8.在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16≥53，则d的取值范围为________.

答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37,39)，＋∞))

解析因为a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16＝a1＋13d＋a2＋13d＋a3＋13d＝16＋39d≥53，故d≥eq\f(37,39).

9.已知在递增的等差数列{an}中，a3a6＝55，a4＋a5＝16.

(1)求a3和a6；

(2)求{an}的通项公式.

解