河南省南阳市六校2024−2025学年高二上学期10月期中考试数学试题[含答案].docx

河南省南阳市六校2024?2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（????）

A． B． C． D．

2．抛物线C：的焦点坐标为（????）

A． B． C． D．

3．已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（????）

A． B． C． D．

4．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（????）

A． B． C． D．

5．“”是“直线与垂直”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

7．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（????）

??

A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m

8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（????）

A．2 B． C． D．4

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知曲线，则下列说法正确的是（????）

A．若，则曲线表示椭圆

B．若曲线表示双曲线，则

C．无论取何值，曲线都不能表示圆

D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线

10．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（????）

A．图形Ω为菱形 B．图形Ω的面积为2

C．若P为曲线C上的点，则 D．曲线C与椭圆有四个公共点

11．已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（????）

A． B．的值可以为

C．的最小值为 D．直线一定过坐标原点

三、填空题（本大题共3小题）

12．若双曲线的焦距为4，则实数的值为．

13．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为．

14．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，．

（1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为；

（2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．

(1)求直线的方程；

(2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．

16．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W．

(1)求W的方程；

(2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值．

17．已知直线：．

(1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程；

(2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标．

18．已知双曲线：的离心率为，且经过点．

(1)求的方程；

(2)若上两点，关于点对称，求直线的方程；

(3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示）

19．已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1.

(1)求C的方程.

(2)过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.

①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：；

②若A是的中点，且，求直线的方程.

参考答案

1．【答案】D

【详解】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，

而ABC中向量与不共线，，

所以直线的一个方向向量的坐标为.

故选：D

2．【答案】C

【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.

故选：C

3．【答案】B

【详解】的中点坐标为，

所以边上的中线所在直线的方程为，

整理得.

故选：B

4．【答案】B

【详解】设双曲线：，点和在曲线上，

∴，两式相减可得，即.

∴渐近线方程为：，

故选：B.

5．【答案】C

【详解】若直线与垂直，

则，解得或，

当时，直线无意义，舍去；

当时，与垂直；

所以“”是“直线与垂直”的充要条件.

故选：C

6．【答案】A

【详解】圆C：的圆心，半径，

圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

由，得圆心到直线的距离，

于是，解得或，

所以直线的方程为或.

故选：A

7．【答案】A

【详解】以