2025北师大版步步高选择性必修第二册培优课　数列求和的方法(一).DOCX

培优课数列求和的方法(一)

数列是高中数学的重要内容，数列求和更是考查的热点题型.数列求和除直接利用等差、等比数列的公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，常用的方法还有倒序相加、分组求和、并项求和等.下面结合实例讨论数列求和的基本方法和技巧.

类型一公式法

关键点：已知数列成等差、等比数列，直接利用前n项和公式计算.

解题步骤：第一步：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；

第二步：根据已知条件列方程、求出未知量；

第三步：利用前n项和公式求和.

例1已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数.))

(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

(2)求{an}的前20项和.

解(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数，))

所以b1＝a2＝a1＋1＝2，

b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.

因为bn＝a2n，

所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，

所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，

所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，

所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N＋.

(2)因为an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数，))

所以k∈N＋时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，

即a2k＝a2k－1＋1，①

a2k＋1＝a2k＋2，②

a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，

即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③

所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，

即a2k＋1－a2k－1＝3，

所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，

又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋eq\f(10×9,2)×3＋20＋eq\f(10×9,2)×3＝300.

类型二倒序相加法

关键点：距首末两项“等距离”的两项的和相等.

解题步骤：第一步：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；

第二步：和式Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1；

第三步：两式相加求得Sn.

例2已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数f(x)的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若函数g(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，令bn＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2023)))(n∈N＋)，求数列{bn}的前2022项和T2022.

解(1)∵点(n，Sn)均在函数f(x)的图象上，∴Sn＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n；

当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，

∴an＝n(n∈N＋).

(2)∵g(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，∴g(x)＋g(1－x)＝1.

又由(1)知an＝n，∴bn＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2023))).

∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,2023)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(i,2023)))＝1，1≤i≤n，i∈N＋.

∴T2022＝b1＋b2＋…＋b2022

＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2023)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2023)))，①

又T2022＝b2022＋b2021＋…＋b1

＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2023)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2021,2023)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))，②

①＋②，

2T2022＝2022eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(g\b\