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（完整版）高考数学中的内切球和外接球问题.

高考数学中的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面

体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球

的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生

的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多

面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几

何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中

往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面

积为______________.

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表

面积为24，则该球的体积为______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条

棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.

例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，

体积为16，则这个球的表面积为（）.

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该

六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

9，底面周长为3，则这个球的体积为.

解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

==hxx

=

=213

xh∴正六棱柱的底面圆的半径2

1

=r，球心到底面的距离2

3

=d.∴外接球的半径22drR+=.体积：3

3

4RVπ=

.小结本题是运用公式222drR+=求球的半径的，该公式是求球

的半径的常用公式.

二、构造法(补形法)1、构造正方体

例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球

的表面积是_______________.

例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球

的表面积是.

故其外接球的表面积ππ942==rS.

小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分

别为cba,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的

体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，

则有2222cbaR++=.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方

体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，

则体对角线长为222cbal++=，几何体的外接球直径为R2体对角

线长l即2

2

22cbaR++=

练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分

别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

球的表面积为ππ1642==RS

例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此

球的表面积为（）

A.π3

B.π4

C.π33

D.π6

例7已知球O的面上四点A、B、C、D，ABCDA平面⊥，BC

AB⊥，

3===BCABDA，则球O的体积等于.

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而

利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABCDA平面⊥，BC

AB⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又

因为

3===BCABDA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球

的直

径，利用直角三角形解出3=CD.故球O的体积等于π2

9

.（如图4）