山东省青岛第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题[含答案].docx

山东省青岛第二中学2024?2025学年高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知空间向量，，且，则（????）

A． B．16 C．4 D．

2．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（????）

A． B． C． D．

4．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（????）

A．若，是对立事件，则

B．若，是互斥事件，，则

C．若，且，则，是独立事件

D．若，是独立事件，，则

5．已知点关于直线对称的点在圆上，则（????）

A．4 B．5 C．-4 D．-5

6．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（????）

A． B． C． D．

7．边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．下列说法正确的是（????）

A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是

B．若样本数据，，，的平均数为2，则数据，，，的平均数为3

C．一组数据，，，，，的分位数为6

D．某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.8

10．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（????）

A．B点的坐标为 B．为定值

C．最大值为 D．的最大值为

11．在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（????）

A．线段的长度为

B．的最小值为1

C．对任意点，总存在点，使得

D．存在点，使得直线与平面所成的角为

三、填空题（本大题共4小题）

12．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则.

13．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为.

14．在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为.

15．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，O0,0，，，C0,6，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是.

四、解答题（本大题共3小题）

16．已知直线，，且满足，垂足为.

(1)求的值及点的坐标.

(2)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.

17．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.

(1)已知，，

（i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；

（ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；

(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.

18．如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.

(1)当时，

（i）求二面角的正弦值；

（ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；

(2)当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值.

参考答案

1．【答案】A

【详解】由题可知，解得，

所以.

故选：A.

2．【答案】B

【详解】由题意，，，

因为过点的直线与线段相交，

结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.

故选：B.

3．【答案】C

【详解】因为，，

所以，

又与垂直，

则，

解得，

所以，即.

故选：C.

4．【答案】C

【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.

【详解】对于A：若，是对立事件，则，故A错误；

对于B：若，是互斥事件，且，，

则，故B错误；

对于C：因为，，则，，

又，所以，是独立事件，故C正确；

对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，，

所以，故D错误；

故选：C

5．【答案