专题1.5 一元二次函数、方程与不等式（六大重难点题型）（精讲）解析版.docx

专题1.5一元二次函数、方程与不等式

目录

一、考纲要求

1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式．

2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．

3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．

（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．

（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

2020年I卷第1题，5分

从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．

四、考点梳理

知识点一、一元二次不等式

一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

知识点二、二次函数的零点

1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．

3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

知识点三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

知识点四、解一元二次不等式的一般步骤

1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

2.计算对应方程的判别式；

3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．

【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

知识点五、解含参数的一元二次不等式

1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

知识六、简单分数不等式的解法

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

知识点七、不等式恒成立问题

1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ＝b2－4ac0；))

2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ＝b2－4ac≤0；))

3.一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为空集的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ≤0.))

重难点题型(一)不含参数一元二次不等式的解法

例1．（2024·福建福州·模拟预测）已知，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求集合，，再求.

【详解】由，所以；

由，所以.

所以.

故选：B

例2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为．

【答案】

【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.

【详解】方程的解为或，

故不等式的解集为，

故答案为：.

【变式训练1】．（2024·安徽合肥·三模）已知集合，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】，

，

所以.

故选：B.

【变式训练2】．（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（????）条件

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.

【详解】由得，

由得，

则是的必要不充分条件.

故选：B.

重难点题型(二)含参数一元二次不等式的解法

例3．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是.

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