专题2.8 函数模型及其应用（五大重难点题型）（精讲）原卷版.docx

专题2.8函数模型及其应用

目录

一、考纲要求

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．

（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．

（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

2020年II卷第3题，5分

2020年I卷第6题，5分

高考对函数模型的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察．

四、考点梳理

考点1、几种常见的函数模型：

函数模型

函数解析式

一次函数模型

，为常数且

反比例函数模型

，为常数且

二次函数模型

，，为常数且

指数函数模型

，，为常数，，，

对数函数模型

，，为常数，，，

幂函数模型

，为常数，

考点2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

重难点题型（一）：一次或二次函数模型

例1．（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：

一次购买件数

5-10件

11-50件

51-100件

101-300件

300件以上

每件价格

37元

32元

30元

27元

25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（????）

A．116件 B．110件 C．107件 D．106件

例2．（2020·湖南岳阳·一模）2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：

2019年1月1日后个人所得税税率表

全月应纳税所得额

税率（%）

不超过3000元的部分

3

超过3000元至12000元的部分

10

超过12000元至25000元的部分

20

超过25000元至35000元的部分

25

个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是元.

【变式训练1】．（19-20高二上·山东潍坊·期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（????）

A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速

C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速

【变式训练2】．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识?锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会?回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

重难点题型（二）：对勾函数模型+基本不等式

例3．（2023·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚?全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200