专题3.2 导数与函数单调性（六大重难点题型）（精讲）解析版.docx

专题3.2导数与函数的单调性

目录

一、考纲要求

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．

（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

2022年甲卷第12题，5分

2022年I卷第7题，5分

2021年浙江卷第7题，5分

高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．

四、考点梳理

考点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

2、已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

考点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；

（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．

注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：

单调递增；单调递增；

单调递减；单调递减．

重难点题型(一)利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

例1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为fx，则下列选项中值最大的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断.

【详解】

由图可知，为负数，为正数，故不选，

设在处的点为，显然的斜率大于，

则，可转化为，

所以的值最大.

故选：A．

例2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项.

【详解】由可得

对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；