专题3.5 重难点突破之构造函数（三大重难点题型精讲）解析版.docx

专题3.5重难点之构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

对于不等式，构造函数

9.对于不等式，构造函数

10.对于不等式，构造函数

11.对于不等式，构造函数

12.对于不等式，构造函数

重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数

例1、（23-24高三下·重庆）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】构造函数，判定其单调性计算即可.

【详解】根据题意可令，

所以在上单调递减，

则原不等式等价于，

由，

解之得.

故选：B

例2、（2021·安徽高三月考（理））设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

构造函数，利用它的导数确定单调性后可得不等式的解集．

【详解】

由条件，∴在上单调递减，

所求不等式可化为，故，∴.

故选：A．

【点睛】

本题考查用导数解不等式，解题关键是构造函数，利用函数的单调性解不等式．构造函数时一是根据已知导数的不等式，确定构造出的函数求导后能利用已知不等式确定正负，二是根据结论不等式的形式（一般需要适当变形）．

例3、（2022·四川省眉山第一中学模拟预测（理））已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．

【答案】

【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．

【详解】设，则，

因为，，所以，可得在上单调递减，

不等式，即，即，所以，

因为在上单调递减，所以，又因为，

所以不等式的解集为：，

故答案为：．

例4、（23-24高三上·云南昆明）已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】令，由题意可得出在R上单调递增，所以不等式可变形为得，由单调性解不等式即可得出答案.

【详解】令，则，

则在R上单调递增，，

由可得，即，

得，，

故选：B．

1、（22-23高三下·广东）已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用

【分析】根据导数的和运算法则，构造新函数，研究其单调性、奇偶性得到值的大小.

【详解】设，则，

因为当时，有恒成立，所以时，，

所以在单调递减；

又是定义在R上的偶函数，则，

故为偶函数，

则，A选项错误；

，B选项错误；

，C选项错误；

，D选项正确；

故选：D.

2、（22-23高三下·广东东莞）已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】

由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集.

【详解】

由题意知，当时，，

设，

则，

所以在上单调递减，

不等式等价于，

即为，所以，

解得.

故选：A.

3、（22-23高三上·山东泰安·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】根据构造函数，然后分析的奇偶性和单调性，再将问题转化为解不等式，由此可得结果.

【详解】构造函数，

因为是上的偶函数且也是上的偶函数，

所以是上的偶函数，

因为时，，所以在上单调递增，

所以在上单调递减，

又因为，所以且，

所以，所以，解得或，

故选：B.

4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.

【详解】不等式等价于，

令，根据题意对任意的，

当时，，所以函数在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

令，则，

所以当时，，单调递增，

当时，单调递减.所以，所以.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：