专题3.6 重难点突破之不等式恒成立问题（五大重难点题型精讲）解析版.docx

专题3.6重难点突破之不等式恒成立问题

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：

①分离参数＋函数最值

②直接化为最值＋分类讨论；

③缩小范围＋证明不等式；

④分离函数＋数形结合（）。

通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。

一、分离参数法

1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等

（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）

4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）

（1）若的值域为

①，则只需要

，则只需要

②，则只需要

，则只需要

③，则只需要

，则只需要

④，则只需要

，则只需要

（2）若的值域为

①，则只需要

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

②，则只需要

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

③，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

，则只需要

④，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

，则只需要x/k-+w

5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.

二、数形结合法

1、函数的不等关系与图象特征：

（1）若，均有的图象始终在的下方

（2）若，均有的图象始终在的上方

2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数

3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等

4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）

5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备

6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图

（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征

不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.

三、最值分析法

1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论

2、理论基础：设的定义域为

（1）若，均有（其中为常数），则

（2）若，均有（其中为常数），则

3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）

②缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围