2025北师大版步步高选择性必修第二册第二课时　等比数列前n项和的性质及应用.DOCX

第二课时等比数列前n项和的性质及应用

课标要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

素养要求通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.

一、等比数列前n项和公式的函数特征

1.思考等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特征，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？

提示等比数列前n项和公式也具有函数特征，由Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，设A＝eq\f(a1,q－1)，则Sn＝Aqn－A(n∈N＋).

2.填空在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，则等比数列的前n项和公式Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.

温馨提醒等比数列前n项和公式中qn的系数与常数项互为相反数.

3.做一做(1)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是()

A.1 B.0

C.2 D.－1

(2)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.

答案(1)D(2)－eq\f(1,3)

解析(1)当q≠1时，Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn，∴r＝－1，故选D.

(2)显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，

又Sn＝eq\f(1,3)×3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).

二、等比数列前n项和的性质

1.思考利用等比数列求和公式进行推导，Sm，Sn，Sm＋n之间有什么等量关系？

提示当公比q＝1时，有Sn＝na1，

Sm＝ma1，Sm＋n＝(m＋n)a1，

所以Sn＋qnSm＝na1＋1n·ma1＝(m＋n)a1，

所以Sm＋n＝Sn＋qnSm；

当公比q≠1时，有Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，

Sm＝eq\f(a1,1－q)(1－qm)，

Sm＋n＝eq\f(a1,1－q)(1－qn＋m)，

所以Sn＋qnSm＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)＋qn·eq\f(a1,1－q)(1－qm)＝eq\f(a1,1－q)(1－qn＋qn－qm＋n)

＝eq\f(a1,1－q)·(1－qn＋m)，

所以Sm＋n＝Sn＋qnSm.

综上可得，Sm＋n＝Sn＋qnSm.

2.思考类比等差数列前n项和有关性质探求Sk，S2k－Sk，S3k－S2k具有什么关系？可采用从特殊到一般的思想进行思考分析.

提示当q＝－1时，例如an＝(－1)n，当k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k都等于零，不能构成等比数列.

当q≠－1时，Sn≠0，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k构成等比数列，

因为S2k－Sk＝ak＋1＋ak＋2＋…＋a2k

＝a1qk＋a2qk＋…＋akqk＝Skqk，

S3k－S2k＝a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k

＝a1q2k＋a2q2k＋…＋akq2k＝Skq2k，

所以eq\f(S2k－Sk,Sk)＝eq\f(S3k－S2k,S2k－Sk)＝qk，

所以Sk，S2k－Sk，S3k－S2k构成等比数列.

3.填空等比数列前n项和的性质

(1)数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列，且公比为qn.

(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).

(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－（－q）)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).

温馨提醒“片段和”性质成立的条件：Sn≠0.

4.做一做(1)等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是________.

(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

答案(1)28(2)2

解析(1)易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，

∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.

(2)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))

∴S奇＝－80，S偶＝－1