2025北师大版步步高选择性必修第二册4.2　导数的乘法与除法法则.DOCX

4.2导数的乘法与除法法则

课标要求1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数.

素养要求在利用导数的乘法与除法法则求函数导数的过程中，发展学生的数学运算、逻辑推理素养.

1.思考若函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，那么[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）,g′（x）)成立吗？

提示不成立.∵f(x)g(x)＝x5，

∴[f(x)g(x)]′＝5x4，

而f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3.

∴[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，

而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝(x)′＝1≠eq\f(f′（x）,g′（x）)＝eq\f(3,2)x.

2.思考能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)g(x)的导数？如何表示？对于其他函数还满足上述关系吗？

提示[f(x)g(x)]′＝5x4＝3x4＋2x4

＝3x2·x2＋x3·2x

＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

∴[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，对于其他函数也满足.

3.填空一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)(g(x)≠0).

特别地[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R.

温馨提醒(1)f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和.

(2)eq\f(f（x）,g（x）)的导数分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方.

4.做一做(1)判断正误

①函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(√)

②当g(x)≠0时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,g（x）)))′＝eq\f(－g′（x）,g2（x）).(√)

③函数f(x)＝xlnx的导数是f′(x)＝x.(×)

提示f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1.

(2)若y＝eq\f(1－x2,sinx)，则y′等于()

A.eq\f(－2xsinx－（1－x2）cosx,sin2x)

B.eq\f(－2xsinx＋（1－x2）cosx,sin2x)

C.eq\f(－2xsinx＋（1－x2）,sinx)

D.eq\f(－2xsinx－（1－x2）,sinx)

答案A

解析∵y＝eq\f(1－x2,sinx)，

∴y′＝eq\f(（1－x2）′sinx－（1－x2）（sinx）′,sin2x)

＝eq\f(－2xsinx－（1－x2）cosx,sin2x).

题型一利用乘、除法法则求导

例1求下列函数的导数.

(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；

(2)y＝eq\f(x2－x＋1,x2＋x＋1)；

(3)y＝3xex－2x＋e；

(4)y＝eq\f(lnx,x2＋1).

解(1)法一可以先展开后再求导：

y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，

∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.

法二可以利用乘法的求导法则进行求导：

y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′

＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)

＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.

(2)把函数的解析式整理变形可得：

y＝eq\f(x2－x＋1,x2＋x＋1)＝eq\f(x2＋x＋1－2x,x2＋x＋1)

＝1－eq\f(2x,x2＋x＋1)，

∴y′＝－eq\f(2（x2＋x＋1）－2x（2x＋1）,（x2＋x＋1）2)

＝eq\f(2x2－2,（x2＋x＋1）2).

(3)根据求导法则进行求导可得：

y′＝(3xex)′－(2x)′

＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′

＝3xln3·ex＋3xex－2xln2

＝(3e)xln3e－2xln2.

(4)利用除法的求导法则进行求导可得：

y′＝eq\f(（lnx）′（x2＋1）－lnx·（x2＋1）′,（x2＋1）2)

＝eq\f(\f(1,x)（x2＋1）－lnx·2x,（x2＋1）2)＝eq\f(x2（1－2lnx）＋1,x（