2025北师大版步步高选择性必修第二册4.1　导数的加法与减法法则.DOCX

§4导数的四则运算法则

4.1导数的加法与减法法则

课标要求1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则.2.能利用导数公式与加法和减法法则求函数的导数.

素养要求在推导导数的加法法则与减法法则的过程中，提升学生的逻辑推理素养；在应用加法和减法法则求导数的过程中提升学生的数学运算素养.

1.思考已知f(x)＝x，g(x)＝eq\f(1,x).Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)，f(x)，g(x)的导数分别是什么？

提示f′(x)＝1，g′(x)＝－eq\f(1,x2).

2.思考试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数，并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.

提示Q′(x)＝1－eq\f(1,x2)，H′(x)＝1＋eq\f(1,x2).

显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.

3.填空导数的加法与减法法则

两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)即

[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)

[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)

温馨提醒[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x).

4.做一做(1)函数y＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)的导数等于()

A.1 B.－eq\f(1,2\r(x))

C.eq\f(1,2x) D.－eq\f(1,4x)

(2)设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是()

A.eq\f(9,4) B.eq\f(3,2)

C.－1 D.－eq\f(5,2)

答案(1)A(2)B

解析(1)因为y＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)＝x－1，所以y′＝1.

(2)f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝eq\f(3,2).

题型一利用加、减法法则求导

例1求下列函数的导数：

(1)y＝x4＋x3＋cosx－ln5；

(2)y＝lnx－sinx；

(3)y＝5x＋log2x－3.

解(1)y′＝(x4＋x3＋cosx－ln5)′

＝(x4)′＋(x3)′＋(cosx)′－(ln5)′

＝4x3＋3x2－sinx.

(2)y′＝(lnx－sinx)′＝(lnx)′－(sinx)′＝eq\f(1,x)－cosx.

(3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln5＋eq\f(1,xln2).

思维升华应用加法、减法法则求导时的关注点

(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式.

(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.

训练1(1)已知函数f(x)＝x－cosx，则函数f(x)的导函数为()

A.1－cosx B.1＋sinx

C.1－sinx D.1＋cosx

答案B

解析依题意f′(x)＝1＋sinx，故选B.

(2)求下列函数的导数：

①y＝3x－x3；②y＝ex－eq\f(1,x)＋xeq\s\up6(\f(1,5)).

解①y′＝3xln3－3x2.

②y′＝ex＋eq\f(1,x2)＋eq\f(1,5)x－eq\f(4,5).

题型二较复杂形式的函数化简后求导

例2求下列函数的导数：

(1)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)＋\f(1,x2)))；

(2)y＝1＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；

(3)y＝(x2＋2x)eq\r(x).

解(1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)＋\f(1,x2)))＝x＋2＋eq\f(1,x)，

∴y′＝1－eq\f(1,x2).

(2)∵y＝1＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝1＋sinx，

∴y′＝cosx.

(3)∵y＝(x2＋2x)eq\r(x)＝xeq\s\up6(\f(5,2))＋2xeq\s\up6(\f(3,2))，

∴y′＝eq\f(5,2)xeq\s\up6(\f(3,2))＋3xeq\s\up6(\f(1,2)).

思维升华应用加法、减法法则求导数的两种技巧

(1)分拆函数，函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式.

(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先