2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题.pdfVIP

2020年高考数学专题一压轴选择题

第三关以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题

【名师综述】

球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本

的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问

题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难

度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．

类型一四面体的外接球问题

典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角

三角形，AB4,SASBSC4，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为

（）

23

A.B.23C.2D.33

3

【答案】A

【解析】

43



2

OB2OD2DB22r

由图可知，，得r23r4，解得，

3

23

d，故选A。

3

1

【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将

其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在

222

球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2Rabc，a,b,c分别

指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．

【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥中，为等边三角形，

，，三棱锥的外接球的体积为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意可得PA,PB，PC两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC是正棱锥，

P在底面的身影是底面正三角形的中心O，由面PAO，

再由，可知面PBC,所以可知，即PA,PB,PC两两垂直，由于是球外接

球，所以正三棱锥P-ABC可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以

。

类型二三棱柱的外接球问题

典例2．已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱

111

的体积为3，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于（）



A.2B.4C.6D.8

【答案】D.

1

【解析】由已知条件得：21sin60AA3，∴AA2，

211

222BC3ABC

∵BC