2021年北京市中考数学一模分类试题汇编——新定义试卷及答案.pdf

2021北京中考数学一模分类汇编——新定义

1．（2021•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，

N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关

线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．

（1）已知点A的坐标是（0，2）．

①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；

②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；

（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，

4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）①如图1中，根据要求作出图形即可，过点M作MK⊥OA于K．解直角三

角形求出KM，OK，可得结论．

②分两种情形分别画出图形求解即可．

（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，

当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．求

出两种特殊位置OP的值，可得结论．

【解答】解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．

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∵A（0，2），

∴OA＝OM＝MN＝AN＝2，

在Rt△OMK中，∠MOK＝30°，

∴MK＝OM＝1，OK＝MK＝，

∴M（1，），N（1，+2）．

②如图2﹣1中，当点M与（，1）重合时，α＝60°．

如图2﹣2中，当点N与（，1）重合时，α＝120°，

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综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．

（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，

当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．

观察图象可知，满足条件的OP的值为2＜OP≤4，

∴2＜t≤4．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解

题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（2021•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△

PQR使得S△PQR＝PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的

“等幂点”．

（1）已知A（3，0）．

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①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（﹣5，1），P4（3，﹣6）中，是线段OA的“等幂点”

的是P2，P4；

②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；

（2）已知点C的坐标为C（2，﹣1），点D在直线y＝x﹣3上，记图形M为以点T（1，

0）为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD

的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．

【分析】（1）①分别计算出对应三角形的面积，和OA2进行比较，若相等即为线段OA

的等幂点；

②若△OAB既是线段OA的“等幂三角形”，又是等腰三角形，需要分类讨论，当若OB

＝AB，OA＝OB＝3，OA＝AB＝3时，分别求点B的坐标；

（2）先找到使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形的点E，再根据题目中

的条件求出点D的横坐标的取值范围即可．

2

【解答】解：（1）①∵A（3，0），则OA＝3，OA＝9，

∵P1