2024-2025学年上海市上海师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解.docx

上师大附中高一期中数学试卷

一.填空题（第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分）

1．命题“如果,那么”是命题（填写“真”或“假”）

2．写出所有满足的集合

3．若幂函数的图象经过点,则此幂函数的表达式是

4．若,则可以用有理数指数幂的形式表示:

5．若,则可以用及表示:

6．若集合,,则

7．已知全集为,若,则以下结论正确的有（填写所有正确结论序号）

①,②,③.

8．已知集合,,若,则实数的取值范围是

9．已知点的集合,,若有且仅有个子集,则的值是

10．若关于的不等式的解集是,则的值是________

11．若,,且,则式子的最小值是

12．若关于的不等式的解集是,且只有个元素,则实数的取值范围是

二.选择题（本大题共4题,满分20分）

13．在区间上是严格增函数,且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（????）

A． B． C． D．

14．对于任意的实数,,有不等式,等号当且仅当（????）时成立

A．,同号 B．,异号 C． D．

15．若,,,则下列条件中,使“”成立的充分非必要条件是（????）

A． B． C． D．

16．若集合,则不论实数取何值,集合不可能是（????）

A． B． C． D．

三.解答题（本大题共有5题,满分76分）

17．在有声世界,声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：dB（分贝）]定义为.其中,为声场中某点的声强度,其单位为（瓦/平方米）,为基准值.

(1)如果,求相应的声强级（结果精确到1dB）.

(2)声强级为70dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的多少倍？

18．已知全集为R,集合,

(1)求集合.

(2)求集合的补集.

19．已知,,.

(1)若,证明,,至少有一个不小于.

(2)若,比较,,的值的大小.

20．（1）解关于的不等式.

（2）若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围.

（3）若关于的不等式的解集为,求正实数的取值范围.

21．教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理:若一元二次方程的两个根为,则,.

证明：因为一元二次方程的两个根为.

所以二次三项式可以因式分解为.

由于,从而等式恒成立.

该等式两边的对应项系数应相等.因此,.

(1)类比以上思路,推导一元三次方程的根与系数关系.

(2)已知关于的方程有三个实数根满足,求实数的值.

(3)已知关于的方程有三个实数根满足,求的取值范围.

1．真

【分析】根据数集之间的关系判断真假即可.

【详解】由所有有理数都是实数,知“如果,那么”为真命题.

故答案为：真

2．

【分析】根据包含关系写出所有可能得集合即可.

【详解】由题设集合的包含关系知：是的真子集.

所以集合可能为.

故答案为：

3．

【分析】根据幂函数所过的点求参数,即可得表达式.

【详解】由题设,故幂函数表达式为.

故答案为：

4．

【分析】根据根式与有理数指数幂的关系及有理数指数幂的运算化简即可.

【详解】由,则.

故答案为：

5．

【分析】根据指数运算及与对数关系有,,结合目标式求表达式.

【详解】由题设,则,.

所以.

故答案为：

6．

【分析】将集合B中元素代入集合A的表达式判断不等式是否成立,即可得结果.

【详解】当时,,满足集合描述.

当时,,满足集合描述.

所以.

故答案为：

7．①②③

【分析】根据条件得到,可得①正确,再结合韦恩图,即可判断②③的正误.

【详解】因为,得到,所以①正确.

如图,由知,,所以②和③正确,

??

故答案为：①②③.

8．

【分析】根据集合的包含关系,讨论,求对应参数范围,即可得答案.

【详解】若时,满足,此时只需.

若时,则,可得.

综上,实数的取值范围是.

故答案为：

9．或

【分析】根据条件得,再利用子集的个数得,即可求解.

【详解】因为,又有且仅有个子集.

所以有两个元素,则.

若时,,此时满足题意.

若,则,此时满足题意.

所以.

故答案为：或.

10．0

【分析】根据分式不等式特点转化为一元二次不等式,然后根据解集求解系数.

【详解】等价于且.

又因为解集为.

所以是的根,解得.

故是方程的根.

根据韦达定理,

解得：.

故答案为：0.

11．

【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.

【详解】由题设,且.

所以

.

当且仅当,即时取等号.

故答案为：

12．或

【分析】分,和三种情况,当和时,直接求出集合,再结合条件,可知不合题意,当时,注意到,结合条件得到或,即可求解.

【详解】当时,由,得到,解得.

又只有个元素,所以不合题意.

当,由,得到或.

又,若,