2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　§5　第2课时　数学归纳法的应用.docx

第2课时数学归纳法的应用

[学习目标]1.进一步熟练数学归纳法的原理与步骤.2.能用数学归纳法证明数学问题．

一、用数学归纳法证明不等式

例1用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))2eq\r(n)(n∈N＋)．

延伸探究本例中把不等式改为“1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))eq\r(n)(n1且n∈N＋)”，试用数学归纳法证明．

反思感悟用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点

关键点一

验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1

关键点二

证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”

关键点三

用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明

关键点四

证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”

跟踪训练1求证：当n∈N＋且n≥2时，eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)eq\f(13,24).

二、用数学归纳法证明整除问题

例2证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．

反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．

跟踪训练2用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数(n∈N＋)．

三、用数学归纳法证明几何问题

例3求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝eq\f(1,2)n(n－3)．

反思感悟(1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．

(2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可由f(n)＝eq\f(1,2)n·(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.

跟踪训练3平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．

1.知识清单：

(1)利用数学归纳法证明不等式．

(2)利用数学归纳法证明整除问题．

(3)利用数学归纳法证明几何问题．

2．方法归纳：数学归纳法．

3．常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化．

1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)n(n∈N＋，n1)时，第一步应验证不等式()

A．1＋eq\f(1,2)2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)2

C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)3

2．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，n0的取值应为()

A．1B．2C．3D．4

3．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________________________．

4．观察下列不等式：1eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)eq\f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为______________________________(n∈N＋)．