数学素材：一般形式的柯西不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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教材习题点拨

“探究：一般形式的三角不等式应是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学们自己进行探究．

答：三角不等式的一般形式eq\r(x\o\al(2，1）＋x\o\al(2,2）＋…＋x\o\al(2,n)）＋eq\r（y\o\al(2,1）＋y\o\al（2，2)＋…＋y\o\al(2，n))≥eq\r((x1－y1）2＋（x2－y2)2＋…＋(xn－yn）2)（xi，yi∈R，i＝1，2,…，n）．

证明：左边平方＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al（2，2)＋…＋xeq\o\al(2，n）＋2eq\r((x\o\al(2,1)＋x\o\al（2,2)＋…＋x\o\al（2，n))(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2，2）＋…＋y\o\al(2，n))）＋yeq\o\al（2,1)＋yeq\o\al(2,2）＋…＋yeq\o\al（2,n)≥xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al（2,2)＋…＋xeq\o\al（2,n)＋2|x1y1＋x2y2＋…＋xnyn|＋yeq\o\al(2,1）＋yeq\o\al(2,2）＋…＋yeq\o\al（2，n)≥xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al(2，2)＋…＋xeq\o\al（2，n）－2（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn)＋yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al（2，2）＋…＋yeq\o\al(2，n）

＝(x1－y1）2＋（x2－y2)2＋…＋(xn－yn)2.

两边开方得

eq\r（x\o\al(2,1）＋x\o\al（2，2)＋…＋x\o\al（2，n））＋eq\r(y\o\al(2，1）＋y\o\al（2，2)＋…＋y\o\al(2，n）)≥eq\r(（x1－y1)2＋（x2－y2）2＋…＋(xn－yn)2).

习题3.2

1．证明：构造两组数eq\r(a)，eq\r（b），eq\r（c)，eq\f(1,\r(a）)，eq\f（1，\r（b）),eq\f(1,\r（c）)，于是由柯西不等式有［(eq\r（a)）2＋(eq\r（b））2＋（eq\r（c)）2］eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,\r(a）)）)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,\r（b））))2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(c）)))2))≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r（a)·\f（1，\r(a）)＋\r(b）·\f(1,\r(b）)＋\r（c）·\f（1，\r（c))))2，

∴(a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f（1，b)＋\f(1,c)）)≥32.

∵a＋b＋c＝1，

∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f（1,c）≥9。

2．证明：由柯西不等式：(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥（a＋b＋c＋d)2.

∵a＋b＋c＋d＝1,

∴a2＋b2＋c2＋d2≥eq\f（1，4）.

3．证明:由柯西不等式：(x1＋x2＋x3＋…＋xn）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f（1，x2)＋\f(1,x3）＋…＋\f（1，xn）））≥。

4．证明:构造两组数eq\r(a＋b)，eq\r(c＋b)，eq\r(a＋c)，eq\f（1，\r(a＋b)），eq\f(1,\r(c＋b））,eq\f(1，\r（a＋c）），由柯西不等式，得（a＋b＋b＋c＋c＋a)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f（1，c＋a))）≥（1＋1＋1)2,

2（a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，a＋b)＋\f（1，b＋c）＋\f(1,c＋a））)≥9，

当且仅当eq\f(\r（a＋b)，\f(1,\r(a＋b）))＝eq\f(\r(c＋b），\f（1,\r(c＋b）))＝eq\f(\r（c＋a）,\f(1,\r（c＋a)）)时,等号成立，即a＋b＝b＋c＝c＋a?

a＝b＝c。

∵a，b，c不全相等，故等号不成立．

∴eq\f（2,a＋b）＋eq\f(2，b＋c)＋eq\f（2,c＋a）＞eq\f（9,a＋b＋c).

5．证明：由柯西不等式，∵（x2＋y2＋z2)(22＋