北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案).docxVIP

北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题

高二年级数学学科

时间：120分钟2024.11

本试卷共2页，150分。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.若直线与直线平行，则系数a为（）

A.-3 B.-6 C. D.

2.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（）

A. B.

C. D.

3.在三棱锥中，等于（）

A. B. C. D.

4.过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）

A.1或3 B.1或4 C.1 D.4

5.已知椭圆的一个焦点的坐标是（-2，0），则实数m的值为（）

A.1 B. C.2 D.4

6.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（）

A.30° B.45° C.60° D.90°

7.已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.7 B.6 C.5 D.4

8.“”是“直线与圆相切”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线的斜率的取值范围是（）

A. B.

C. D.

10.某地居民的居住区域大致呈如图的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.已知，.现准备修建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离的平方和最小，图中，，，是的五等分点，则转播台应建在（）

A.处 B.处 C.处 D.处

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.直线与圆的位置关系是________.

12.已知圆：与圆：内切，则实数a的值为________.

13.已知圆C：（a为实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则________.

14.如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在线段上，则点P到直线的距离的最小值为________.

15.定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数r，使得集合，则称为一个“开集”。给出下列集合：

①；②；

③；④.

其中为“开集”的是__________.

三、解答题（共85分）

16.已知直线：.

（I）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线恒过定点；

（Ⅲ）当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）.

17.已知椭圆及直线.

（I）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时，求直线与椭圆相交所得的弦长；

（Ⅲ）求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点O，，，点E是棱的中点，连接，.

（I）求证：平面；

（Ⅱ）若平面与平面的夹角的余弦值为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段的长.

条件①：平面平面；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.已知圆：和圆，直线与圆相切于点（1，1），圆的圆心在射线（）上，圆过原点，且被直线截得的弦长为.

（I）求直线的方程；

（Ⅱ）求圆的方程.

20.椭圆：的左顶点为，离心率为.

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知经过点的直线交椭圆于B，C两点，D是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.

21.已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.

（I）若，，求集合和，以及的值；

（Ⅱ）给定正整数，集合.对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合.

①求证：；

②求的最小值.