2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破.pdfVIP

专题一墙角模型

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多

面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考

查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的

知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特

别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至

关重要的作用．

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外

切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球

心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小

棱锥的高，用体积法来求球的半径．

空间几何体的外接球与内切球十大模型

1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模

型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．

【方法总结】

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外

接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，

a222

＋b＋c

2222

则2R＝a＋b＋c．)，秒杀公式：R＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

4

DCDCDCDC

11111111

ABABABAB

11111111

DCDCDCDC

ABABABAB

类型Ⅰ类型Ⅱ类型Ⅲ例外型

【例题选讲】

[例](1)已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，

且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为()

A．12πB．7πC．9πD．8π

答案A解析由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的

22222

长方体，设球O的半径为R，则有(2R)＝AC＋BC＋CD＝3＋4＋5＝12，所以S＝4πR＝12π，故选A．

球

(2)若三棱锥