专题2.2 函数的基本性质的灵活应用（单调性、奇偶性、对称性、周期性,十二大重难点题型,精讲）原卷版.docx

专题2.2函数的基本性质的灵活应用

目录

一、考纲要求

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

二、考点网络

考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）集合的概念与表示

（2）集合的基本关系

（3）集合的基本运算

2024年I卷，第1题，5分

2023年I卷，第1题，5分

2023年II卷，第2题，5分

2022年I卷，第1题，5分

高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.

考点梳理

考点1、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数的定义域为，区间：

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．

如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．

=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；

=2\*GB3②任意两个自变量，且；

=3\*GB3③都有或；

=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

（2）单调性与单调区间

=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．

=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

考点2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数

关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数

关于原点对称

判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．

考点3、函数的对称性

(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．

(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．

(3)若，则函数关于对称．

(4)若，则函数关于点对称．

考点4、函数的周期性

（1）周期函数：

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【解题方法总结】

1、单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与的大小关系；

④得出结论．

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

（3）记住几条常用的结论：

①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；

③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数是偶函数函数的图象关于轴对称；

函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数在处有意义，则有；

偶函数必满足.

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得