专题3.7 重难点突破之证明不等式问题（十二大重难点题型精讲）原卷版.docx

专题3.7重难点突破之证明不等式问题

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

重难点题型（一）：直接法

例1．（2023·青海·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求a，b；

(2)证明：．

例2．（2023·北京·高三北京二十中校考期中）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：.

重难点题型（二）：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．

(1)证明：；

(2)讨论的单调性，并证明：当时，．

例4．（2023·陕西榆林·二模）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明：．

重难点题型（三）：分析法

例5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数

(1)求在处的切线;

(2)若，证明当时，.

例6．（2023·陕西榆林·一模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若关于的不等式恒成立，证明：且．

重难点题型（四）：凹凸反转、拆分函数

例7．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．

(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；

(2)当时，求证：．

例8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明：．

重难点题型（五）：对数单身狗，指数找朋友

例9．已知函数．

（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；

（Ⅱ）当时，求证．

例10．（2024·湖北荆州·三模）已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：函数的图象位于直线的下方；

重难点题型（六）：放缩法

例11．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数（，为自然对数的底数）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：.

例12．（2024·河北·三模）已知函数．

(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：．

重难点题型（七）：虚设零点

例13．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：当时，.

例14．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数

(1)当时，求的零点；

(2)若恰有两个极值点，求的取值范围.

重难点题型（八）：同构法

例15．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：在上恒成立；

（3）求证：当时，．

例16．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知

(1)将，，，按由小到大排列，并证明；

(2)令求证:在内无零点.

重难点题型（九）：分段分析法、主元法、估算法

例17．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当，且时，．

例18．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若存在唯一的极值点，证明：．

重难点题型（十）：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

例19．（2024·河南新乡·三模）已知函数．

(1)求的极值；

(2)若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．

例20．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：；

(3)设，若存在实数使得，求的最大值.

重难点题型（十一）：函数与数列不等式问题

例21．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.

(1)若，求实数的值；

(2)已知且，求证：.

例22．（23-24高三上·重庆·期中）设数列的前项之积为，满足.

(1)设，求数列的通项公式；

(2)设数列的前项之和为，证明：.

重难点题型（十一二）：函数与三角函数问题

例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．

例24．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，.

(1)求函数的极小值；

(2)证明：当时，.